Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=4cm，AD=BC=cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）．
（1）當(dāng)四邊形APQD為平行四邊形時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)△ADP為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得：AP=2t，CQ=t，
∴DQ=4-t，
要使APQD是平行四邊形，
則必有AP=DQ，
∴2t=4-t，
解得：t=，
答：當(dāng)四邊形APQD是平行四邊形時(shí)，t的值為；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則AE==2cm，
當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，PQ⊥AB，
此時(shí)AP+CQ=AE+DC=2+4=6（cm），
即2t+t=6，
解得：t=2，
答：當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，t的值為2；

（3）①當(dāng)∠APD=90°時(shí)，AP=2，即2t=2，則t=1；
②當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，AD²+DP²=AP²，
∵AD=cm，AP=2t，DE==3，
∴DP²=DE²+EP²=3²+（2t-2）²，
∴13+9+（2t-2）²=（2t）²，
解得：t=，
答：當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，t的值為1或．
分析：（1）首先根據(jù)題意可得AP=2t，CQ=t，然后由四邊形APQD為平行四邊形時(shí)，AP=DQ，即可得方程2t=4-t，解此方程即可求得t的值；
（2）首先過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，即可求得AE的長，由當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，PQ⊥AB，即可得方程2t+t=6，解此方程即可求得t的值；
（3）分別從當(dāng)∠APD=90°與當(dāng)∠ADP=90°去分析，利用勾股定理構(gòu)造方程，解方程即可求得t的值，小心別漏解．
點(diǎn)評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．