Question

【題目】如圖①所示，直線L：y＝kx+5k與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．

(1)當OA＝OB時，試確定直線L解析式；

(2)在(1)的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長線上一點，連接OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN＝3，求MN的長；

(3)當K取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以OB、AB為邊在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點，問當點B在y軸上運動時，試猜想△ABP的面積是否改變，若不改變，請求出其值；若改變，請說明理由．

(4)當K取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，以AB為邊在第二象限作等腰直角△ABE，則動點E在直線______上運動．(直接寫出直線的表達式)

Answer 1

【答案】(1)y＝x+5；(2)MN＝7；(3)S△ABP＝；(4)y＝﹣x+5．

【解析】

（1）由直線L解析式，求出A與B坐標，根據(jù)OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；
（2）由OA=OB，對頂角相等，且一對直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對應線段相等求長度，然后過點M作MH⊥OA，易得△OMH∽△OAM，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得M點的坐標；
（3）如圖，作EK⊥y軸于K點，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對應邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，尋找相等線段，并進行轉(zhuǎn)化，求得PB的長，繼而求得△ABP的面積；
（4）由（3）可得OA=BK=5，EK=OB=5k，則可得OK=OB+BK=5k+5，即可得點E（-5k，5k+5），繼而可知動點E在直線y=-x+5上運動．

解：(1)∵直線L：y＝mx+5m，

∴A(﹣5，0)，B(0，5m)，

由OA＝OB得,5m＝5，m＝1，

∴直線解析式為：y＝x+5．

(2)在△AMO和△OBN中，

∴△AMO≌△ONB．

∴AM＝ON＝4，

∴BN＝OM＝3．

∴MN＝OM+ON＝7，

(3)如圖，作EK⊥y軸于K點．

先證△ABO≌△BEK，

∴OA＝BK，EK＝OB．

再證△PBF≌△PKE，

∴PK＝PB．

∴PB＝BK＝OA．

S△ABP＝=AO2＝

(4)如圖3，∵A(﹣5，0)，B(0，5k)，

∴OA＝BK＝5，EK＝OB＝5k，

∴OK＝OB+BK＝5k+5，

∴點E(﹣5k，5k+5)，

∵動點E在直線y＝﹣x+5上運動．

故答案為：y＝﹣x+5．