Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD所在平面上的點(diǎn)，如果∠PAD=∠PBC，則稱(chēng)點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣6．

（1）如圖2，若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣6，4）、D（0，4），點(diǎn)P在DC邊上，且點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　_________　；

（2）如圖3，若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4）、D（0，4）．

①若P在DC邊上時(shí)，則四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)P的坐標(biāo)為　_________　；

②在①的條件下，將PB沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜＜6）得到線段P′B′，連接P′D，B′D，試用含的式子表示P′D2+B′D2，并求出使P′D2+B′D2取得最小值時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)；

③如圖4，若點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P坐標(biāo)為（1， ），求的值；

④以四邊形ABCD的一邊為邊畫(huà)四邊形，所畫(huà)的四邊形與四邊形ABCD有公共部分，若在所畫(huà)的四邊形內(nèi)存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P分別是各相鄰兩頂點(diǎn)的等角點(diǎn)，且四對(duì)等角都相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）①（0，3）；②2m2-12m+53，（3，3）；③2.8；④（-1，3），（-2，2），（-3，3），（-2，0）

【解析】試題分析：（1）連結(jié)AP，BP，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出PD=PC而得出結(jié)論；

（2）①由△ADP∽△BCP就可以得出而求出結(jié)論；

②求出代表P′D2+B′D2的方程式，并求最小值．

③畫(huà)圖求證△PAM∽△PBN，值得注意的是本題有兩個(gè)圖形，容易漏掉一個(gè)答案．

④由題意可知，必須是正方形才能滿(mǎn)足題干要求．

試題解析：解：（1）由B點(diǎn)坐標(biāo)（﹣6，0），A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣6，4）、D點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），可以得出四邊形ABCD為矩形，

∵P在CD邊上，且∠PAD=∠PBC，∠ADP=∠BCP，BC=AD；

∴△ADP≌△BCP，∴CP=DP，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；

（2）①∵∠DAP=∠CBP，∠BCP=∠ADP=90°，

∴△ADP∽△BCP，

∴==，

∴CP=3DP，∴CP=3，DP=1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

②如圖3，由題意，易得 B′（m﹣6，0），P′（m，3）

由勾股定理得P′D2+B′D2=PP′2+PD2+OD2+B′C2=m2+（4﹣3）2+42+（m﹣6）2=2m2﹣12m+53，

∵2＞0

∴P′D2+B′D2有最小值，

當(dāng)m=﹣=3時(shí)，（在0＜m＜6范圍內(nèi)）時(shí)，P′D2+B′D2有最小值，此時(shí)P′坐標(biāo)為（3，3）；

③由題意知，點(diǎn)P在直線x=1上，延長(zhǎng)AD交直線x=1于M，

（a）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)，易證△PAM∽△PBN，

∴，

即，

解得t=2．8

(b）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為BA的延長(zhǎng)線與直線x=1的交點(diǎn)時(shí)，易證△PAM∽△PBN，

∴，即，解得t=7，

綜上可得，t=2．8或t=7；

④因滿(mǎn)足題設(shè)條件的四邊形是正方形，

故所求P的坐標(biāo)為（﹣1，3），（﹣2，2），（﹣3，3），（﹣2，0）．