Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），點B和點D的坐標分別為（m，0），（n，4），且m＞0，四邊形ABCD是矩形．
（1）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，求m，n的值；

（2）在圖2中，畫出矩形ABCD，簡要說明點C，D的位置是如何確定的，并直接用含m的代數式表示點C的坐標；

（3）探究：當m為何值時，矩形ABCD的對角線AC的長度最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過點D作DE⊥y軸于E，

∴∠AED=∠AOB=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ADE=∠BAO，

在△ABO和△ADE中， ，

∴△ABO≌△ADE，

∴DE=OA，AE=OB，

∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），

∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，

∴n=3，

∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，

∴m=1；

（2）解：畫法：如圖2，①過點A畫AB的垂線l1，

過點B畫AB的垂線l2，

②過點E（0，4），畫y軸的垂線l3交l1于D，

③過點D畫直線l1的垂線交直線l2于點C，

所以，四邊形ABCD是所求作的圖形，

過點C作CF⊥x軸于F，

∴∠CBF+∠BCF=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴∠ABO+∠CBF=90°，

∴∠BCF=∠ABO，

同理：∠ABO=∠DAE，

∴∠BCF=∠DAE，

在△ADE和△CBF中， ，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE=BF=n，AE=CF=1，

易證△AOB∽△DEA，

∴ ，∴ ，

∴n= ，

∴OF=OB+BF=m+ ，

∴C（m+ ，1）；

（3）解：如圖3，由矩形的性質可知，BD=AC，

∴BD最小時，AC最小，

∵B（m，0），D（n，4），

∴當BD⊥x軸時，BD有最小值4，此時，m=n，

即：AC的最小值為4，

連接BD，AC交于點M，過點A作AE⊥BD于E，

由矩形的性質可知，DM=BM= BD=2，

∵A（0，3），D（n，4），

∴DE=1，

∴EM=DM﹣DE=1，

在Rt△AEM中，根據勾股定理得，AE= ，

∴m= ，即：

當m= 時，矩形ABCD的對角線AC的長最短為4．

【解析】（1）先判斷出∠ADE=∠BAO，即可判斷出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；（2）先根據垂直的作法即可畫出圖形，判斷出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判斷出△AOB∽△DEA，即可得出OB= ，即可得出結論；（3）先判斷出BD⊥x軸時，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)．