【題目】如圖,△ABC中,D是AB上一點(diǎn),DE⊥AC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn),FG⊥BC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分∠CAB,連接GE,GD.
(1)求證:△ECG≌△GHD;
(2)小亮同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):AD=AC+EC.請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論;
(3)若∠B=30°,判斷四邊形AEGF是否為菱形,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)四邊形AEGF是菱形,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義可得∠CAG=∠FGA,即可證得AC∥FG;已知DE⊥AC,由此可得FG⊥DE,再由FG⊥BC可得 DE∥BC,所以AC⊥BC,從而得∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED;因?yàn)?/span>F是AD的中點(diǎn),FG∥AE,可得H是ED的中點(diǎn),所以FG是線段ED的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得GE=GD,所以∠GDE=∠GED,即可得∠CGE=∠GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD;(2)過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB于點(diǎn)P,易證△CAG≌△PAG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=AP,GC=GP;再證明Rt△ECG≌Rt△DPG,即可得EC=DP,由此即可證得結(jié)論;(3)四邊形AEGF是菱形,根據(jù)已知條件易證AE=AF=FG,再由AE∥FG,即可判定四邊形AEGF是菱形.
(1)證明:∵AF=FG,
∴∠FAG=∠FGA,
∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,
∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.
∵DE⊥AC,∴FG⊥DE,
∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,
∵F是AD的中點(diǎn),FG∥AE,
∴H是ED的中點(diǎn),
∴FG是線段ED的垂直平分線,
∴GE=GD,∴∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,
∴△ECG≌△GHD.
(2)證明:過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB于點(diǎn)P,如圖.
∴GC=GP,∴△CAG≌△PAG,
∴AC=AP,GC=GP.
由(1)得GE=GD,
∴Rt△ECG≌Rt△DPG,
∴EC=DP,
∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)解:四邊形AEGF是菱形,理由如下:
∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,
∴AE=AD,∴AE=AF=FG,
由(1)得AE∥FG,
∴四邊形AEGF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,AC=BC=6,以A為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△ADE,則圖中陰影部分的面積= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算題|1﹣ |﹣ +2cos30°﹣20170;
(1)計(jì)算:|1﹣ |﹣ +2cos30°﹣20170;
(2)解不等式組 并求其最小整數(shù)解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)已知O是直線AB上的一點(diǎn),∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)如圖①,若∠AOC=30°,求∠DOE的度數(shù);
(2)在圖①中,若∠AOC=a,直接寫(xiě)出∠DOE的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示);
(3)將圖①中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置.
①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系,寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF,且∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫(huà)直角:把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié),然后以3個(gè)結(jié)間距、4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng),用木樁釘成一個(gè)三角形,其中一個(gè)角便是直角,這樣做的道理是( )
A.直角三角形兩個(gè)銳角互補(bǔ)
B.三角形內(nèi)角和等于180°
C.如果三角形兩條邊長(zhǎng)的平方和等于第三邊長(zhǎng)的平方
D.如果三角形兩條邊長(zhǎng)的平方和等于第三邊長(zhǎng)的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,這四邊行ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AB,CD邊上,將四邊形ABCD沿MN翻折,使點(diǎn)B、C分別在四邊形外部點(diǎn)B1 , C1處,則∠A+∠B1+∠C1+∠D= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在杭州西湖風(fēng)景游船處,如圖,在離水面高度為5m的岸上,有人用繩子拉船靠岸,開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m,此人以0.5m/s的速度收繩.10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置,問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少m?(假設(shè)繩子是直的,結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為28個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊,距離原點(diǎn)8個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊.
(Ⅰ)求點(diǎn)A,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù);
(Ⅱ)數(shù)軸上點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度出發(fā)向左移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左移動(dòng),在點(diǎn)C處追上了點(diǎn)A,求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù).
(Ⅲ)已知在數(shù)軸上點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)線段NO的中點(diǎn)為P(O為原點(diǎn)),在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,線段的值是否變化?若不變,請(qǐng)說(shuō)明理由并求其值;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a>b,選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)填空:
(1)-________-;
(2)1-5a__________1-5b;
(3)ax2_________bx2;
(4)a(-c2-1)_________b(-c2-1).
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