【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC切⊙O于點A,AC=ABCO的延長線交⊙O于點F,BP的延長線交AC于點E,連接AP、AF

1)求證:AFBE;

2)求證:;

3)若AB=2,求tanF的值.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3tanF=

【解析】

1)根據(jù)三角形中等邊對等角得到∠OAF=∠F,由同弧所對的圓周角相等得到∠B=∠F,從而得出∠OAF=∠B,由此可得FA∥BE

2)根據(jù)弦切角定理得∠PAC=∠F,從而證出△APC∽△FAC,利用對應(yīng)邊成比例及AB=AC,證出,再根據(jù)比例的性質(zhì)整理可得,AB=AC.得證.

3)根據(jù)切割線定理,結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得CPCP+PF=AC2=4,由此解出CP=(舍負).再由FP⊙O的直徑得∠FAP=90°,在Rt△FAP中利用三角函數(shù)的定義,結(jié)合(2)中的結(jié)論即可算出tan∠PFA的值.

1)證明:⊙O中,直徑ABFP交于點O,

∴OA=OF,

∴∠OAF=∠F

∵∠B=∠F,

∴∠OAF=∠B

∴FA∥BE

2)證明:∵AC⊙O的切線,PA是弦,

∴∠PAC=∠F

∵∠C=∠C,

∴△APC∽△FAC

∵AB=AC,

3)解:∵AC⊙O于點A,CPF⊙O的割線,

∴AC2=CP×CF=CPCP+PF),

∵PF=AB=AC=2,

∴CPCP+2=4,

整理得CP2+2CP-4=0,解之得CP=,

∵CP0

∴CP=

∵FP⊙O的直徑,

∴∠FAP=90°,

Rt△FAP中,tan∠F==

練習冊系列答案
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(2)當小華走到路燈B的底部時,他在路燈A下的影長是多少?

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