Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最�。空�(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：

∵對(duì)稱軸為直線x=2，

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k．

將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得 ，

∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：方法一：

當(dāng)a=1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．

設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），

如答圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME

= （PN+OF）ON﹣ PNMN﹣ OMOE

= （x+2）（﹣x2+4x+5）﹣ x（﹣x2+4x+4）﹣ ×1×1

=﹣x2+ x+

=﹣（x﹣ ）2+

∴當(dāng)x= 時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為 ，

把x= 時(shí)，y=﹣（ ﹣2）2+9= ．

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（ ， ）

方法二：

連接MF，過點(diǎn)P作x軸垂線，交MF于點(diǎn)H，

顯然當(dāng)S△PMF有最大值時(shí)，四邊形MEFP面積最大．

當(dāng)a=1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），

∵M(jìn)（0，1），

∴l(xiāng)MF：y=﹣ x+1，

設(shè)P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣ t+1），

∴S△PMF= （PY﹣HY）（FX﹣MX），

∴S△PMF= （﹣t2+4t+5+ t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+ t+4，

∴當(dāng)t= 時(shí)，S△PMF最大值為 ，

∵S△MEF= EF×MY= ×1×1= ，

∴S四邊形MEFP的最大值為 + =

（3）

解：方法一：

∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．

令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2± ．

∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+ ，3）．

四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．

如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；

作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；

連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最�。�

設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+ ，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：m= ，n=﹣ ，

∴y= x﹣ ．

當(dāng)y=0時(shí)，解得x= ．∴F（ ，0）．

∵a+1= ，∴a= ．

∴a= 時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最�。�

方法二：

∵M(jìn)（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2± ，

∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+ ，3），PM、EF長(zhǎng)度固定，

當(dāng)ME+PF最小時(shí)，PMEF的周長(zhǎng)取得最小值，

將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1），

∵四邊形MEFM1為平行四邊形，

∴ME=M1F，

作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1），

∴M2F=M1F=ME，

當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，M2三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)ME+PF=PM2最小，

∵P（2+ ，3），M2（1，﹣1），F(xiàn)（a+1，0），

∴KPF=KM1F，

∴ ，

∴a=

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2 ， 則M2（1，﹣1）；連接PM2 ， 與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最�。�