Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把由兩條射線(xiàn)AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線(xiàn)段）．已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線(xiàn)AE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上．
（1）求兩條射線(xiàn)AE，BF所在直線(xiàn)的距離；
（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫(xiě)出b的取值范圍；
當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫(xiě)出b的取值范圍；
（3）已知?AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn)A，M，P，Q按順時(shí)針?lè)较蚺帕校┑母黜旤c(diǎn)都在圖形C上，且不都在兩條射線(xiàn)上，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定三角形ADB為等腰直角三角形，其直角邊的長(zhǎng)等于兩直線(xiàn)間的距離；
（2）利用數(shù)形結(jié)合的方法得到當(dāng)直線(xiàn)與圖形C有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)自變量x的取值范圍即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及其四個(gè)頂點(diǎn)均在圖形C上，可能會(huì)出現(xiàn)四種情況，分類(lèi)討論即可．

解答：解：（1）如圖1，分別連接AD、DB，則點(diǎn)D在直線(xiàn)AE上，
∵點(diǎn)D在以AB為直徑的半圓上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=

2

，
∵AE∥BF，
∴兩條射線(xiàn)AE、BF所在直線(xiàn)的距離為

2

．

（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是b=

2

或-1＜b＜1；
當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是1＜b＜

2

（3）假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的平行四邊形AMPQ，根據(jù)點(diǎn)M的位置，分以下四種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)AE上時(shí)，如圖2
∵AMPQ四點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?br />∴直線(xiàn)PQ必在直線(xiàn)AM的上方，
∴PQ兩點(diǎn)都在弧AD上，且不與點(diǎn)A、D重合，
∴0＜PQ＜

2

．
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴0＜AM＜

2

∴-2＜x＜-1，

②當(dāng)點(diǎn)M在弧AD上時(shí)，如圖3
∵點(diǎn)A、M、P、Q四點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?br />∴直線(xiàn)PQ必在直線(xiàn)AM的下方，
此時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的平行四邊形．
③當(dāng)點(diǎn)M在弧BD上時(shí)，
設(shè)弧DB的中點(diǎn)為R，則OR∥BF，

當(dāng)點(diǎn)M在弧DB上時(shí)，如圖4，
過(guò)點(diǎn)M作OR的垂線(xiàn)交弧DB于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)S，可得S是MQ的中點(diǎn)．
∴四邊形AMPQ為滿(mǎn)足題意的平行四邊形，
∴0≤x＜

2

2

．

當(dāng)點(diǎn)M在弧RB上時(shí)，如圖5，
直線(xiàn)PQ必在直線(xiàn)AM的下方，
此時(shí)不存在滿(mǎn)足題意的平行四邊形．

④當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)BF上時(shí)，如圖6，
直線(xiàn)PQ必在直線(xiàn)AM的下方，
此時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的平行四邊形．

綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍是-2＜x＜-1或0≤x＜

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合題，題目中還涉及到了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的相關(guān)知識(shí)，題目中還滲透了分類(lèi)討論思想．