Question

【題目】幾何模型：

條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．

問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最�。�

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最�。ú槐刈C明）．

模型應(yīng)用：

（1）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連結(jié)ED交AC于P，則PB+PE的最小值是 ；

（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，連接ED交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE最小值是ED的長(zhǎng)度，由勾股定理即可求出ED的長(zhǎng)為；

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，連接DC，AC，此時(shí)PA+PC的最小值為DC的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出DC的長(zhǎng)度為；

（3）要求△PQR周長(zhǎng)的最小值，即求PR+QR+PQ的最小值即可，作點(diǎn)C，使得點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OB對(duì)稱，作點(diǎn)D，使得點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于OA對(duì)稱，連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點(diǎn)Q、R，此時(shí)PR+QR+PQ最小，且PR+QR+PQ=CD，即求出CD的長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）由題意知：連接ED交AC于點(diǎn)P，

此時(shí)PB+PE最小，最小值為ED，

∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴AE=1，

由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，

∴ED=，

∴PB+PE的最小值為；

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，連接DC，AC，

∴AD=4，

∵∠AOC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴AC=OA=2，

∵AD是⊙O直徑，

∴∠ACD=90°，

∴由勾股定理可求得：CD=，

∴PA+PC的最小值為；

（3）作點(diǎn)C，使得點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OB對(duì)稱，作點(diǎn)D，使得點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于OA對(duì)稱，

連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點(diǎn)Q、R，

此時(shí)PR+RQ+PQ最小，最小值為CD的長(zhǎng)，

∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OB對(duì)稱，

∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，

同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，

∵∠BOP+∠POA=45°，

∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，

由勾股定理可知：CD=，

∴△PQR周長(zhǎng)的最小值為．