Question

如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個頂點處于點O處，兩邊分別與線段AB、AD交于點E、F，設BE=x．
（1）若三角板的直角頂點處于點O處，如圖（2）．判斷三角形EOF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，若三角形EOF的面積為S，求S關于x的函數關系式．
（3）若三角板的銳角頂點處于點O處，如圖（3）．
①若DF=y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
②探究直線EF與正方形ABCD的內切圓的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首選根據正方形的性質得出∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，進而得出△AOF≌△BOE（ASA），即可得出△EOF是等腰直角三角形；
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x得出EF的長，進而得出EO，FO的長，即可得出S關于x的函數關系式；
（3）①首先得出△BOE∽△DFO，進而得出

DF

BO

=

OD

BE

，即可得出y與x的函數關系式；
②由①知△BOE∽△DFO，

EO

FO

=

BE

OD

，由BO=DO得出

EO

FO

=

BE

OB

而∠EOF=∠0BE=45°得出△EOF∽△EBO，得出∠FEO=∠0EB，進而得出答案．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△AOF和△BOE中

∠FOA=∠EOB AO=BO ∠OAF=∠OBE

，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；

（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x．
∵AE²+AF²=EF²，
∴EF=

x2+(4-x)2

，
∴EO=FO=

2 × x2+(4-x)2

2

，
∴S=

1

2

×EO×FO=

1

2

x²-2x+4；

（3）①∵∠EOF=∠0BE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴

DF

BO

=

OD

BE

，
∴y=

8

x

（2≤x≤4）；

②連接EF由①知△BOE∽△DFO，
∴

EO

FO

=

BE

OD

，
∵BO=DO，
∴

EO

FO

=

BE

OB

而∠EOF=∠0BE=45°，
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠0EB，
∴點O到EF、BE的距離相等，而O到BE的距離，即為正方形內切圓⊙O的半徑，
∴直線EF與正方形的內切圓相切．

點評：此題主要考查了切線的判定以及正方形的性質和相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，利用等腰直角三角形的性質得出是解題關鍵．