Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸，與y軸交于點C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，則下列判斷中正確的是（　�。�

• A． 此拋物線的解析式為y=x²+x-2
• B． 當(dāng)x＞0時，y隨著x的增大而增大
• C． 在此拋物線上的某點M，使△MAB的面積等于5，這樣的點共有三個
• D． 此拋物線與直線y=-$\frac{9}{4}$只有一個交點

Answer 1

分析 先確定A、B點的坐標(biāo)，則可利用交點式求出拋物線解析式，于是可對A選項進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對B選項進行判斷；設(shè)M（t，t²-t-2），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$×3×|t²-t-2|=5，再把方程化為t²-t-2=$\frac{10}{3}$或t²-t-2=-$\frac{10}{3}$，然后通過解兩個方程確定t的值，從而可對C選項進行判斷；通過解方程x²-x-2=-$\frac{9}{4}$可對D選項進行判斷．

解答 解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，
∴OA=1，OB=2，
∴A（-1.0），B（2，0），
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-2），即y=x²-x-2，所以A選項錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，y隨著x的增大而增大，所以B選項錯誤；
設(shè)M（t，t²-t-2），
當(dāng)△MAB的面積等于5，則$\frac{1}{2}$×3×|t²-t-2|=5，
∴t²-t-2=$\frac{10}{3}$或t²-t-2=-$\frac{10}{3}$，
∵方程t²-t-2=$\frac{10}{3}$有兩個不等實數(shù)解，而方程或t²-t-2=-$\frac{10}{3}$沒有實數(shù)解，
∴滿足條件的M點有2個，所以C選項錯誤；
當(dāng)y=-$\frac{9}{4}$時，x²-x-2=-$\frac{9}{4}$，解得x₁=x₂=$\frac{1}{2}$
∴拋物線與直線y=-$\frac{9}{4}$只有一個交點，所以D選項正確．
故選D．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．