Question

（2007•哈爾濱）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，AF平分∠BAC，交BD于點F．
（1）求證：EF+AC=AB；
（2）點C₁從點C出發(fā)，沿著線段CB向點B運動（不與點B重合），同時點A₁從點A出發(fā)，沿著BA的延長線運動，點C₁與A₁的運動速度相同，當動點C₁停止運動時，另一動點A₁也隨之停止運動．如圖2，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于點F₁，過點F₁作F₁E₁⊥A₁C₁，垂足為E₁，請猜想E₁F₁，A₁C₁與AB三者之間的數量關系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，當A₁E₁=3，C₁E₁=2時，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過F作FM⊥AB于點M，首先證明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．
（2）連接F₁C₁，過點F₁作F₁P⊥A₁B于點P，F(xiàn)₁Q⊥BC于點Q，證明Rt△A₁E₁F₁≌Rt△A₁PF₁，Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁后推出A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁化簡為E₁F₁+A₁C₁=AB．
（3）設PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E₁F₁+A₁C₁=AB，得出BD=．
解答：（1）證明：如圖1，過點F作FM⊥AB于點M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于點E．
∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴EF=MF，
又∵AF=AF，
∴Rt△AMF≌Rt△AEF，
∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45°，
∴MF=MB，MB=EF，
∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．

（2）E₁F₁，A₁C₁與AB三者之間的數量關系：E₁F₁+A₁C₁=AB
證明：如圖2，連接F₁C₁，過點F₁作F₁P⊥A₁B于點P，F(xiàn)₁Q⊥BC于點Q，
∵A₁F₁平分∠BA₁C₁，∴E₁F₁=PF₁；同理QF₁=PF₁，∴E₁F₁=PF₁=QF₁，
又∵A₁F₁=A₁F₁，∴Rt△A₁E₁F₁≌Rt△A₁PF₁，
∴A₁E₁=A₁P，
同理Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，
∴C₁Q=C₁E₁，
由題意：A₁A=C₁C，
∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-C₁C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF₁=QF₁=QB，
∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁，
即2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁，
∴E₁F₁+A₁C₁=AB．

（3）解：設PB=x，則QB=x，
∵A₁E₁=3，QC₁=C₁E₁=2，
Rt△A₁BC₁中，A₁B²+BC₁²=A₁C₁²，
即（3+x）²+（2+x）²=5²，
∴x₁=1，x₂=-6（舍去），
∴PB=1，
∴E₁F₁=1，
又∵A₁C₁=5，
由（2）的結論：E₁F₁+A₁C₁=AB，
∴AB=，
∴BD=．
點評：本題考查的是勾股定理的應用，全等三角形的判定以及正方形的性質等有關知識．