Question

已知二次函數f（x）=x²-2x-n²-n的圖象與x軸的交點為（a_n，0），（b_n，0），則式子

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2008

+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

b2008

=

 

．

Answer 1

分析：根據題意得到x²-2x-n²-n=0的兩根為a_n，b_n，再根據根與系數的關系得到a_n+b_n=2，a_n•b_n=-n²-n=-n（n+1），則a₁+b₁=2，a₁•b₁=-1×2，a₂+b₂=2，a₂•b₂=-2×3，…，然后把原式分別通分得到原式=

a1+b1

a1b1

+…+

a2008+b2008

a2008•b2008

，則原式=

2

-1×2

+

2

-2×3

+…+

2

-2008×2009

=-2×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

）=-2×（1-

1

2009

）．

解答：解：∵二次函數f（x）=x²-2x-n²-n的圖象與x軸的交點為（a_n，0），（b_n，0），
∴x²-2x-n²-n=0的兩根為a_n，b_n，
∴a_n+b_n=2，a_n•b_n=-n²-n=-n（n+1），
∴a₁+b₁=2，a₁•b₁=-1×2，a₂+b₂=2，a₂•b₂=-2×3，
∴原式=

1

a1

+

1

b1

+

1

a2

+

1

b2

+…+

1

a2008

+

1

b2008

=

a1+b1

a1b1

+…+

a2008+b2008

a2008•b2008

=

2

-1×2

+

2

-2×3

+…+

2

-2008×2009

=-2×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

）
=-2×（1-

1

2009

）
=-

4016

2009

．
故答案為-

4016

2009

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．