Question

已知：如圖八，在△ABC中，已知AB＝AC＝

6，BC＝4，以點(diǎn)B為圓心所作的⊙B與線段AB、BC

都有交點(diǎn)，設(shè)⊙B的半徑為x．

（1）若⊙B與AB的交點(diǎn)為D，直線CD

與⊙B相切，求x的值；

（

2）如圖九，以AC為直徑作⊙P，那么⊙B與⊙P

存在哪些位置關(guān)系？并求出相應(yīng)x的取值范圍；

（3）若以AC為直徑的⊙P與⊙B 的交點(diǎn)E在線

段BC上（點(diǎn)E不與C點(diǎn)重合），求兩圓公共弦EF的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴BH＝2．

∵直線CD與⊙B相切，∴CD⊥AB，………………（2分）

∵∠DBC＝∠ACH, ∴cos∠DBC＝cos∠ACH 

∴BD︰BC＝CH︰CA，

∴BD︰4＝2︰6，∴BD＝．………………（2分） 

（2）如圖，作PK⊥BC于點(diǎn)K，∴PK∥AH．

∵AH⊥BC，AB＝AC＝6，BC＝4，∴BH＝2，

∴AH＝4．………………（1分）

∵以AC為直徑作⊙P，∴AP＝PC，

∴PK＝2，CK＝BC＝1，∴BK＝3，

∴在Rt△PBK中，PB＝＝＝，…………（2分）

∴當(dāng)0＜x＜－3時(shí)，⊙B與⊙P外離，當(dāng)x＝－3時(shí)，⊙B與⊙P外切，

當(dāng)－3＜x≤4時(shí)，⊙B與⊙P相交．………………（3分）

（3）點(diǎn)E即為BC邊的中點(diǎn)H，∴PE＝3．

設(shè)EF與PB交于點(diǎn)G，BG＝m，

∴在△PBE中，PE²－PG²＝BE²－BG²，

∴3²－（－m）²＝2²－m²，∴m＝．……（2分）

∵EG²－BG²＝BE²，∴EG²－（）²＝2²，

∴EG＝，∴EF＝．