Question

【題目】如圖，在中，，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）如圖，連接，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得DC=DB，利用HL可證明Rt△DEC≌Rt△DFB，即可得EC=BF；

（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠EDF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EDC=∠FDB，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠CDB=∠EDF=90°，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求出DG的長(zhǎng)．

（1）連接，，

∵平分，，，

∴.

∵垂直平分線，

∴，

在與中，，

∴，

∴．

（2）∵，∠BAC=90°，DF⊥AB，

∴-∠BAC=90°，

∵Rt△DEC≌Rt△DFB，

∴，

∴，

∴∠CDB=∠EDF=90°，

∵AC=5，，，

∴，

∵，垂直平分，

∴．