Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為___________．

Answer 1

【答案】或

【解析】由直線y=kx與線段OA的夾角是45°可知，本題有兩種情況：一種是直線y=kx在線段OA的上方（即直線y=kx的圖象經(jīng)過第一、三象限）；另一種是直線y=kx在線段OA的下方（直線y=kx的圖象經(jīng)過第二、四象限）.再通過以直線y=kx與OA構(gòu)造等腰直角三角形即可進(jìn)行求解.

解：有兩種情況：

①當(dāng)直線y=kx在線段OA的上方時(shí)（即直線y=kx的圖象經(jīng)過第一、三象限）,

如圖所示，過點(diǎn)A作AB⊥OA，交直線y=kx于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作平行于y軸的直線交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.

∵AB⊥OA

∴∠OAB=90°

∵∠BOA=45°

∴△OAB等腰直角三角形

∴OA=OB

∵∠OAC+∠BAD =90°, ∠OAC+∠AOC =90°

∴∠BAD=∠AOC

又∵∠D=∠ACO =90°

∴△OCA≌△BAD

∴AD＝OC，BD＝AC

∵A（2，1），

∴OC＝2，AC＝1

∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3） ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）

∴此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝3x

②當(dāng)直線y=kx在線段OA的下方時(shí)（即直線y=kx的圖象經(jīng)過第二、四象限）：

過點(diǎn)A作AB⊥OA，交直線y=kx于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥AC .

則由①可知：

∴△OCA≌△BAD

∴AD＝OC，BD＝AC

∵A（2，1），

∴OC＝1，AC＝2

∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）

∴此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝x

∴正比例函數(shù)表達(dá)式為：或