【題目】如圖,四 邊形OABC是矩形,點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上,△ODE是由△OCB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,點(diǎn)D在X軸上,直線BD交Y軸于點(diǎn)F,交OE于點(diǎn)H,線段BC、OC的長(zhǎng)是方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根,且OC>BC.
(1)求直線BD的解析式.
(2)求 △OFH的面積.
(3)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:y=-x+;(2);(3)存在滿(mǎn)足條件的N點(diǎn),其坐標(biāo)為(,-)或(-4,-)或(4,).
【解析】
(1)解方程可求得OC、BC的長(zhǎng),可求得B、D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式;
(2)可求得E點(diǎn)坐標(biāo),求出直線OE的解析式,聯(lián)立直線BD、OE解析式可求得H點(diǎn)的橫坐標(biāo),可求得△OFH的面積;
(3)當(dāng)△MFD為直角三角形時(shí),可找到滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N,分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三種情況,分別求得M點(diǎn)的坐標(biāo),可分別求得矩形對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得N點(diǎn)坐標(biāo).
(1)解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4,
∵BC、OC的長(zhǎng)是方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根,且OC>BC,
∴BC=2,OC=4,
∴B(-2,4),
∵△ODE是△OCB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,
∴OD=OC=4,DE=BC=2,
∴D(4,0),
設(shè)直線BD解析式為y=kx+b,
把B、D坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線BD的解析式為y=-x+;
(2)由(1)可知E(4,2),
設(shè)直線OE解析式為y=mx,
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得m=,
∴直線OE解析式為y=x,
令,解得x=,
∴H點(diǎn)到y軸的距離為,
又由(1)可得F(0,),
∴OF=,
∴S△OFH=××=;
(3)∵以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,
∴△DFM為直角三角形,
①當(dāng)∠MFD=90°時(shí),則M只能在x軸上,連接FN交MD于點(diǎn)G,如圖1,
由(2)可知OF=,OD=4,
則有△MOF∽△FOD,
∴,即,解得OM=,
∴M(-,0),且D(4,0),
∴G(,0),
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則,,
解得x=,y=-,此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(,-);
②當(dāng)∠MDF=90°時(shí),則M只能在y軸上,連接DN交MF于點(diǎn)G,如圖2,
則有△FOD∽△DOM,
∴,即,解得OM=6,
∴M(0,-6),且F(0,),
∴MG=MF=,則OG=OM-MG=6-=,
∴G(0,-),
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則 =0,,
解得x=-4,y=-,此時(shí)N(-4,-);
③當(dāng)∠FMD=90°時(shí),則可知M點(diǎn)為O點(diǎn),如圖3,
∵四邊形MFND為矩形,
∴NF=OD=4,ND=OF=,
可求得N(4,);
綜上可知存在滿(mǎn)足條件的N點(diǎn),其坐標(biāo)為(,-)或(-4,-)或(4,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500m,先到終點(diǎn)
的人原地休息.已知甲先出發(fā)2s.在跑步過(guò)程中,甲、乙兩人的距離y(m)與乙出發(fā)的時(shí)間t(s)之間的關(guān)系
如圖所示,給出以下結(jié)論:①a=8;②b=92;③c=123.其中正確的是【 】
A.①②③ B.僅有①② C.僅有①③ D.僅有②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊中,是過(guò)點(diǎn)的一條直線,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,連接,,,其中,分別交直線于點(diǎn),.
(1)若(),請(qǐng)用的代數(shù)式表示;
(2)求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海靜中學(xué)開(kāi)展以“我最喜愛(ài)的職業(yè)”為主題的調(diào)查活動(dòng),圍繞“在演員、教師、醫(yī)生、律師、公務(wù)員共五類(lèi)職業(yè)中,你最喜愛(ài)哪一類(lèi)?(必選且只選一類(lèi))”的問(wèn)題,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求在被調(diào)查的學(xué)生中,最喜愛(ài)教師職業(yè)的人數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若海靜中學(xué)共有1500名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)最喜愛(ài)律師職業(yè)的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A(6,0),B(0,4),點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C點(diǎn),點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上,△ABD的面積是30.
(1)求點(diǎn)D坐標(biāo);
(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BC運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位,設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△APC的面積為S,求S與t的關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,同時(shí)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位速度勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)R在過(guò)A點(diǎn)且平行于y軸的直線上,當(dāng)△PQR為以PQ為直角邊的等腰直角三角形時(shí),求滿(mǎn)足條件的t值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校組織一項(xiàng)公益知識(shí)競(jìng)賽,比賽規(guī)定:每個(gè)班級(jí)由2名男生、2名女生及1名班主任老師組成代表隊(duì).但參賽時(shí),每班只能有3名隊(duì)員上場(chǎng)參賽,班主任老師必須參加,另外2名隊(duì)員分別在2名男生和2名女生中各隨機(jī)抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任組成了代表隊(duì),求恰好抽到由男生甲、女生丙和這位班主任一起上場(chǎng)參賽的概率.(請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”或“列舉”等方法給出分析過(guò)程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,
(1)把△ABC向上平移3個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位得△A′B′C′,在圖中畫(huà)出兩次平移后得到的圖形△A′B′C′,并寫(xiě)出A′、B′、C′的坐標(biāo).
(2)如果△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)Q,根據(jù)(1)中所述平移方式得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q′,如果點(diǎn)Q′坐標(biāo)是(m,n),那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,點(diǎn)是邊、的中點(diǎn),直線、相交于點(diǎn).當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),線段長(zhǎng)的最小值是( )
A. 2- B. +1 C. D. -1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】永州市在進(jìn)行“六城同創(chuàng)”的過(guò)程中,決定購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)對(duì)某路段進(jìn)行綠化改造,若購(gòu)買(mǎi)種樹(shù)2棵, 種樹(shù)3棵,需要2700元;購(gòu)買(mǎi)種樹(shù)4棵, 種樹(shù)5棵,需要4800元.
(1)求購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)每棵各需多少元?
(2)考慮到綠化效果,購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)不能少于48棵,且用于購(gòu)買(mǎi)這兩種樹(shù)的資金不低于52500元.若購(gòu)進(jìn)這兩種樹(shù)共100棵.問(wèn)有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案?
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