Question

（2013•浙江一模）閱讀并解答下列問題：

問題一．如圖1，在?ABCD中，AD=20，AB=30，∠A=60°，點(diǎn)P是線段AD上的動點(diǎn)，連PB，當(dāng)AP=

15

時(shí)，PB最小值為

15

3

．
問題二．如圖2，四邊形ABCD是邊長為20的菱形，且∠DAB=60°，P是線段AC上的動點(diǎn)，E在AB上，且AE=

1

4

AB，連PE，PB，問當(dāng)AP長為多少時(shí)，PE+PB的值最小，并求這個最小值．
問題三．如圖3，在矩形ABCD中，AB=20，CB=10，P，Q分別是線段AC，AB上的動點(diǎn)，問當(dāng)AP長為多少時(shí)，PQ+PB的值最小，并求這個最小值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BP⊥AD于P，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出結(jié)論；
（2）如圖2，連接BD、ED交AC于點(diǎn)P，作DF⊥AB于F．由菱形的性質(zhì)可以得出AC的值，再由△APE∽△CPD就根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N′在AB′上，這時(shí)，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距離BH′，連結(jié)B與AB′和DC的交點(diǎn)P，再由三角形的面積公式可求出S_△ABP的值，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知∠PAC=∠BAC=∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S_△ABP=

1

2

PA•BH′即可求解．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BP⊥AD于P，
∴∠APB=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ABP=30°，
∴AP=

1

2

AB．
∵AB=30，
∴AP=15．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
BP=

302-152

=15

3

．

（2）如圖2，連結(jié)BD，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P，作DF⊥AB于F．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD．AC⊥BD，DO=BO=

1

2

DB，AO=CO=

1

2

AC，∠OAB=

1

2

∠DAB．
∵∠DAB=60°，
∴△ABD和△CDB是等邊三角形，
∴AF=

1

2

AB=10，．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得
DF=10

3

．
∵AE=

1

4

AB，且AB=20，
∴AE=5．
∴EF=5．
在Rt△EFD中，由勾股定理，得
DE=

300+25

=5

13

，
∴BP+PE的最小值為5

13

．
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AO=10

3

．
∴AC=20

3

∴△AEP∽△CDP，
∴

AE

DC

=

AP

PC

．
∴

5

20

=

AP

20 3 -AP

，
∴AP=4

3

．
答：當(dāng)AP長為4

3

時(shí)，PE+PB的值最小為5

13

；

（3）如圖3，作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，作B′Q⊥QB于Q，交AC于P．
連結(jié)AB′，則Q點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)H′在AB′上，
∴∠AHB=∠AHB′=90°，BH=B′H，
∴AB′=AB，
∴∠AB′H=∠ABH．
這時(shí)，B到P到Q的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距離BH′，
連結(jié)AB′和DC的交點(diǎn)E，
則S_△ABE=

1

2

×20×10=100，
由對稱知識，∠EAC=∠BAC=∠ECA，
所以EA=EC，令EA=x，則EC=x，ED=20-x，
在Rt△ADE中，EA²=ED²+AD²，
所以x²=（20-x）²+10²，
所以x=12.5，
因?yàn)镾_△ABE=

1

2

EA•BH′，
所以BH′=

2S△ABE

EA

=

100×2

12.5

=16．
在△BB′H′和△B′BQ中，

∠AB′H=∠ABH ∠BH′B′=∠B′QB BB′=B′B

，
∴△BB′H′≌△B′BQ（SAS），
∴BH′=B′Q=10．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=10

5

．
∵S_△ABC=

AB•BC

2

=

AC•BH

2

，
∴

20×10

2

=

10 5 •BH

2

，
∴BH=4

5

，
∴BB′=8

5

．
在Rt△BB′Q中，由勾股定理，得
QB=8，
∴AQ=12．
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，且∠ABC=90°，
∴PQ∥BC．
∴△AQP∽△ABC，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，
∴

AP

10 5

=

12

20

，
∴AP=6

5

．
答：AP長為6

5

時(shí)，PQ+PB的值最小為16．
故答案為：15，15

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是最短路線問題，考查軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答第三問時(shí)作出B點(diǎn)關(guān)于直線AC對稱的點(diǎn)B′是解答此題的關(guān)鍵．