【題目】四邊形ABCD 中,AB=3,BC=4,E,F 是對(duì)角線 AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別從 A,C 同時(shí)出發(fā), 相向而行,速度均為 1cm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒,當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)后就停止運(yùn)動(dòng).

1)若 G,H 分別是 ABDC 中點(diǎn),求證:四邊形 EGFH 始終是平行四邊形.

2)在(1)條件下,當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 EGFH 為矩形.

3)若 G,H 分別是折線 A﹣B﹣C,C﹣D﹣A 上的動(dòng)點(diǎn),與 E,F 相同的速度同時(shí)出發(fā),當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 EGFH 為菱形.

【答案】(1)證明見解析;

(2)當(dāng) t 為0.5s4.5s時(shí),四邊形 EGFH 為矩形;

(3)ts時(shí),四邊形EGFH為菱形.

【解析】試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)得出AB=CDABCD,ADBC,∠B=90°,由勾股定理求出AC=5,由SAS證明△AFG≌△CEH,得出GF=HE,同理得出GE=HF,即可得出結(jié)論;

(2)先證明四邊形BCHG是平行四邊形,得出GH=BC=4,當(dāng)對(duì)角線EF=GH=4時(shí),平行四邊形EGFH是矩形,分兩種情況:①AE=CF=t,得出EF=5-2t=4,解方程即可;②AE=CF=t,得出EF=5-2(5-t)=4,解方程即可;

(3)連接AG、CH,由菱形的性質(zhì)得出GHEF,OG=OH,OE=OF,得出OA=OC,AG=AH,證出四邊形AGCH是菱形,得出AG=CG,設(shè)AG=CG=x,則BG=4-x,由勾股定理得出方程,解方程求出BG,得出AB+BG=,即可得出t的值.

試題解析:1∵四邊形ABCD是矩形,

AB=CD,ABCDADBC,B=90°

AC==5,GAF=HCE,

GH分別是AB,DC中點(diǎn),

AG=BG,CH=DH,

AG=CH,

AE=CF,

AFGCEH中,

∴△AFG≌△CEHSAS),

GF=HE

同理:GE=HF,

∴四邊形EGFH是平行四邊形.

2由(1)得:BG=CH,BGCH,

∴四邊形BCHG是平行四邊形,

GH=BC=4,當(dāng)EF=GH=4時(shí),平行四邊形EGFH是矩形,分兩種情況:

AE=CF=t,EF=5﹣2t=4,解得:t=0.5;

AE=CF=t,EF=5﹣25﹣t=4,解得:t=4.5;

綜上所述:當(dāng)t0.5s4.5s時(shí),四邊形EGFH為矩形.

3)連接AG、CH,如圖所示:

∵四邊形EGFH為菱形,

GHEFOG=OH,OE=OF

OA=OC,AG=AH

∴四邊形AGCH是菱形,

AG=CG

設(shè)AG=CG=x,則BG=4﹣x,由勾股定理得:AB2+BG2=AG2,32+4﹣x2=x2,

解得:x=,

BG=4=

AB+BG=3+=,

ts時(shí),四邊形EGFH為菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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