【題目】如圖,半圓O的直徑AB=4,以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑,向點(diǎn)O方向作半圓M,其中P點(diǎn)在AQ(。┥锨A點(diǎn)重合,但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn).AP(弧)的長(zhǎng)與QB(。┑拈L(zhǎng)之和為定值l,求l;

思考.點(diǎn)MAB的最大距離為_______,此時(shí)點(diǎn)P,A間的距離為_______;點(diǎn)MAB的最小距離為________,此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為________.

探究.當(dāng)半圓MAB相切于T時(shí),求AT的長(zhǎng).

【答案】發(fā)現(xiàn): ;思考: ;探究:AT=

【解析】試題分析:發(fā)現(xiàn):半圓O的長(zhǎng)度是固定不變的,由于PQ也是定值,所以的長(zhǎng)度也是固定值,所以的長(zhǎng)之和為定值;

思考:過(guò)點(diǎn)MMCAB于點(diǎn)C,當(dāng)CO重合時(shí),MAB的距離最大,此時(shí),∠AOP=60°,AP=2;當(dāng)QB重合時(shí),MAB的距離最小,此時(shí)圍成的封閉圖形面積可以用扇形DMB的面積減去△DMB的面積即可;

探究:分兩種情況討論,當(dāng)半圓MAO相切于點(diǎn)T時(shí)和半圓MBO相切于點(diǎn)T時(shí)求得.

試題解析:

發(fā)現(xiàn):如圖1,連接OP、OQ,

AB=4,

OP=OQ=2,

PQ=2

∴△OPQ是等邊三角形,

∴∠POQ=60°,

==

又∵半圓O的長(zhǎng)為:π×4=2π,

+=2π﹣π=,

l=π

思考:如圖2,過(guò)點(diǎn)MMCAB于點(diǎn)C,

連接OM,

OP=2,PM=1

∴由勾股定理可知:OM=,

當(dāng)CO重合時(shí),

MAB的距離最大,最大值為

連接AP,

此時(shí),OMAB,

∴∠AOP=60°,

OA=OP,

∴△AOP是等邊三角形,

AP=2

如圖3,當(dāng)QB重合時(shí),

連接DM,

∵∠MOQ=30°,

MC=OM=,

此時(shí),MAB的距離最小,最小值為,

設(shè)此時(shí)半圓MAB交于點(diǎn)D,

DM=MB=1,

∵∠ABP=60°

∴△DMB是等邊三角形,

∴∠DMB=60°

∴扇形DMB的面積為: =

DMB的面積為: MCDB=××1=,

∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為:;

探究:

半圓MAB相切,分兩種情況:

①如圖:

半圓MAO相切于點(diǎn)T時(shí),連接PO、MO、TM,則MT AO,OMPQ.

RtTOM中,TO=

AT=2-.

②如圖:

半圓MBO相切于點(diǎn)T時(shí),連接QO、MO、TM,

由對(duì)稱(chēng)性,同理得AT=2-.

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設(shè)剪掉的小正方形邊長(zhǎng)為xcm.(紙板的厚度忽略不計(jì))

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x

30

32

34

36

y

40

36

32

28

(1)已知y與x滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系,根據(jù)上表,求出y與x之間的關(guān)系式.(不寫(xiě)出自變量x的取值范圍);

(2)如果商店銷(xiāo)售這種商品,每天要獲得150元,那么每件商品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元?

(3)設(shè)該商店每天銷(xiāo)售這種商品所獲利潤(rùn)為w(元),求出w與x之間的關(guān)系式,并求出每件商品銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí)利潤(rùn)最大?

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