Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB=4，以長為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)O方向作半圓M，其中P點(diǎn)在AQ（弧）上且不與A點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn).AP（�。┑拈L與QB（�。┑拈L之和為定值l，求l；

思考.點(diǎn)M與AB的最大距離為_______，此時點(diǎn)P，A間的距離為_______；點(diǎn)M與AB的最小距離為________，此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為________.

探究.當(dāng)半圓M與AB相切于T時，求AT的長.

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)： ；思考： ；探究：AT＝

【解析】試題分析：發(fā)現(xiàn):半圓O的長度是固定不變的，由于PQ也是定值，所以的長度也是固定值，所以與的長之和為定值；

思考:過點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，當(dāng)C與O重合時，M與AB的距離最大，此時，∠AOP=60°，AP=2；當(dāng)Q與B重合時，M與AB的距離最小，此時圍成的封閉圖形面積可以用扇形DMB的面積減去△DMB的面積即可；

探究:分兩種情況討論，當(dāng)半圓M與AO相切于點(diǎn)T時和半圓M與BO相切于點(diǎn)T時求得.

試題解析：

發(fā)現(xiàn)：如圖1，連接OP、OQ，

∵AB=4，

∴OP=OQ=2，

∵PQ=2，

∴△OPQ是等邊三角形，

∴∠POQ=60°，

∴==，

又∵半圓O的長為：π×4=2π，

∴+=2π﹣π=，

∴l=π；

思考：如圖2，過點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，

連接OM，

∵OP=2，PM=1，

∴由勾股定理可知：OM=，

當(dāng)C與O重合時，

M與AB的距離最大，最大值為，

連接AP，

此時，OM⊥AB，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OP，

∴△AOP是等邊三角形，

∴AP=2，

如圖3，當(dāng)Q與B重合時，

連接DM，

∵∠MOQ=30°，

∴MC=OM=，

此時，M與AB的距離最小，最小值為，

設(shè)此時半圓M與AB交于點(diǎn)D，

DM=MB=1，

∵∠ABP=60°，

∴△DMB是等邊三角形，

∴∠DMB=60°，

∴扇形DMB的面積為： =，

△DMB的面積為： MCDB=××1=，

∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為：﹣；

探究：

半圓M與AB相切，分兩種情況：

①如圖：

半圓M與AO相切于點(diǎn)T時，連接PO、MO、TM，則MT AO，OMPQ.

在Rt△TOM中，TO＝

AT＝2－.

②如圖：

半圓M與BO相切于點(diǎn)T時，連接QO、MO、TM，

由對稱性，同理得AT＝2－.