Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)A，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)直接寫(xiě)出時(shí)，x的取值范圍；

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形，若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-；（2）x＜-8或-2＜x＜0；（3）在x軸上存在點(diǎn)P1（-、0）P2（0、0）使△PAB為直角三角形

【解析】

（1）聯(lián)立一次函數(shù)和，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求出；

（2）聯(lián)立和y=-解出B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像即可得出答案；

（3）假設(shè)在x軸上存在P（t、0）使△PAB為直角三角形，用含t的代數(shù)式表示PA2，

PB2，AB2，然后根據(jù)勾股定理分①PA2+PB2=PC2；②PA2=PB2+PC2；③PB2=PA2+AB2三種情況討論即可．

（1）解：依題得

解得，即A（-2、4）

將A（-2、4）代入得k=-8，即反比例函數(shù)解析式為：y=-；

（2）∵

解得：或，即B（-8、1）

∴結(jié)合圖像可得當(dāng)y1＜y3時(shí)，x的取值范圍是x＜-8或-2＜x＜0；

（3）如圖，假設(shè)在x軸上存在P（t、0）使△PAB為直角三角形，

∵ PA2=（t+2）2+42=t2+4t+20

PB2=(t+8)2+1=t2+16t+65

AB2=62+32=45

①PA2+PB2=PC2，即t2+4t+20+t2+16t+65=45

化簡(jiǎn)得t2+t+1=0

此時(shí)方程無(wú)解，故此種情況不成立；

②PA2=PB2+PC2 即t2+4t+20=t2+16t+65+45

解得：t=-；

③PB2=PA2+AB2 即t2+16t+65=45+t2+4t+20

解得：t=0；

綜上所，在x軸上存在點(diǎn)P1（-、0），P2（0、0）使△PAB為直角三角形．