凸四邊形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，對角線AC、BD交于點O，如圖．則sin∠AOB=________．


分析：由∠BAD=∠BCD=90°可知A、B、C、D四點共圓，欲求sin∠AOB，聯(lián)想到托勒密定理，只須求出BC、AD即可．
解答：解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四點共圓；
延長BA、CD交于P，
則∠ADP=∠ABC=60°，
AD=x，有AP=x，DP=2x，
由割線定理，得（2+x）x=2x（1+2x），
解得AD=x=2-2，BC=BP=4-，
由托勒密定理有
BD•CA=（4-）（2-2）+2×1=10-12．
又SABCD=S△ABD+S△BCD=．
故sin∠AOB=．
故本題答案為：．
點評：本題考查了銳角三角函數(shù)值的求法，切割線定理，涉及解一元二次方程．關(guān)鍵是明確所求角的三角函數(shù)，將問題進行轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

9、邊長都是質(zhì)數(shù)的凸四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+BC=AD+DC=20．AB＞BC，則BC+AD=（　　）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

定理：圖1，如果∠ADB=∠ACB，那么四邊形ABCD有外接圓，也叫做A，B，C，D四點共圓．（注：本定理不需要證明）
（1）圖2，△ABC中，AC=BC，點E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上運動（不與端點重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圓的圓心，它到三角形三個頂點距離相等），試證明C，E，O，F(xiàn)四點共圓．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）
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如果將問題2中的點C“分離”成兩個點，那么就有：
（2）圖3，在凸四邊形ABCD中，AD=BC，點E，F(xiàn)分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合），而且DE=BF，直線AC，BD相交于點P，直線EF，BD相交于點Q，直線EF，AC相交于點R．當點E，F(xiàn)分別在線段AD，BC上運動（不與端點重合）時，探究△PQR的外接圓是否經(jīng)過除點P外的另一個定點？如果是，請給出證明，并指出是哪個定點；如果不是，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

20、如圖，凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD．求證：ABCD是平行四邊形．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

12、如圖，已知在凸四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA＞OC，OB＞OD．
求證：BC+AD＞AB+CD．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，凸四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE．給出下列五個關(guān)系式：①AD∥BC；②DE=EC；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．將其中的三個關(guān)系式作為已知條件、另外兩個關(guān)系式作為結(jié)論，可以構(gòu)成一些命題（下面各小題的命題須符合此要求）．
（1）共計能夠成
10
10
個命題；
（2）寫出三個真命題：
①如果
③
③
、
④
④
、
⑤
⑤
，那么
①
①
、
②
②
；
②如果
②
②
、
④
④
、
⑤
⑤
，那么
①
①
、
③
③
；
③如果
②
②
、
③
③
、
⑤
⑤
，那么
①
①
、
④
④
．
請選擇上述三個命題中的一個寫出它是真命題的理由：
證明：我選擇證明命題
①
①
（填序號），理由如下：
（3）請寫出一個假命題（不必說明理由）：
如果
②
②
、
③
③
、
④
④
，那么
①
①
、
⑤
⑤
．

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