已知:如圖1,點(diǎn)P在線段AB上(AP>PB),C、D、E分別是AP、PB、AB的中點(diǎn),正方形CPFG和正方形PDHK在直線AB同側(cè).
(1)求證:△EHG是等腰直角三角形;
(2)若將圖1中的射線PB連同正方形PDHK繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后,其它已知條件不變,如圖2,判斷△EHG還是等腰直角三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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分析:(1)先根據(jù)C、D、E分別是AP、PB、AB的中點(diǎn)求出CP=DE,再由正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理求出△CEG≌△DHE,由直角三角形的兩銳角互補(bǔ)即可解答;
(2)連接CE、ED,根據(jù)三角形中位線定理及直角三角形的性質(zhì)可得□CEDP,再由CE=DP=DH,CG=CP=DE,∠GCE=∠EDH=90°可求出△CEG≌△DHE,再通過(guò)等量代換即可解答.
解答:(1)證明:∵C、D、E分別是AP、PB、AB的中點(diǎn),
∴CE=AE-AC=
1
2
AB-
1
2
AP=
1
2
(AB-AP)=
1
2
BP=DP.(1分)
∴CE+EP=DP+EP,即CP=DE.
∵四邊形CPFG和PDHK都是正方形,
∴在△CEG和△DHE中,
CE=DP=DH,CG=CP=DE,∠GCE=∠EDH=90°.
∴△CEG≌△DHE.(2分)
∴EG=HE,∠EGC=∠HED.
而∠EGC+∠CEG=90°,
∴∠HED+∠CEG=90°.
∴∠GEH=90°.
又∵EG=HE,
∴△EHG是等腰直角三角形.(3分)

(2)△EHG還是等腰直角三角形.(4分)
理由如下:
連接CE、ED,
∵點(diǎn)C、D、E分別是AP、PB及AB的中點(diǎn),
∴CE∥PB,DE∥AP,
∴四邊形CEDP是平行四邊形,
∴∠PCE=∠PDE.
進(jìn)而得∠GCE=∠EDH,
再由CE=
1
2
BP=DP=DH,
CG=CP=
1
2
AP=DE,
仍可證△CEG≌△DHE.(5分)
∴EG=HE,∠EGC=∠HED.精英家教網(wǎng)
如圖,設(shè)EG和CP相交于M,
則∠GEH=∠GED-∠HED
=∠GMP-∠EGC
=∠GCM
=90°,
∴△EHG是等腰直角三角形.(6分)
點(diǎn)評(píng):此題比較復(fù)雜,解答此題的關(guān)鍵是熟知正方形及全等三角形的性質(zhì),特別是在解(2)時(shí),要根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出正方形,結(jié)合三角形的中位線定理解答.
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(2)若∠A=30°,則PB與PA有什么數(shù)量關(guān)系?
(3)∠A可能等于45°嗎?若∠A=45°,則過(guò)點(diǎn)C的切線與AB有怎樣的位置關(guān)系?(圖2供你解題使用)
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2
GF
(1)求證:C為線段OG的中點(diǎn);
(2)連接AO1,作⊙O1的弦DE,使DE∥AO1,求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,線段EA、EB(或它們的延長(zhǎng)線)分別交⊙O于點(diǎn)M、N.精英家教網(wǎng)問(wèn):當(dāng)點(diǎn)E在(不含端點(diǎn)A、B)上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段MN的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論.

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1.已知:如圖7,點(diǎn)C在線段AB上,線段AC=15,BC=5,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),求MN的長(zhǎng)度.

2.根據(jù)(1)的計(jì)算過(guò)程與結(jié)果,設(shè)AC+BC=,其它條件不變,你能猜出MN的長(zhǎng)度嗎?請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

3.若把(1)中的“點(diǎn)C在線段AB上”改為“點(diǎn)C在直線AB上”,其它條件不變,結(jié)論又如何?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

 

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