Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如右圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A1 ， 作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2 ， 作正方形A2B2C2C1 ， …按這樣的規(guī)律進行下去，第2017個正方形的面積為 ．

Answer 1

【答案】5×（ ）4032
【解析】解：設正方形的面積分別為S1，S2…，Sn，

根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，

∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．

∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°，

∴△BAA1∽△B1A1A2，

在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD= ，tan∠ADO= = ，

∵tan∠BAA1= =tan∠ADO，

∴BA1= AB= ，

∴CA1= + ，

同理，得：C1A2=（ + ）×（1+ ），

由正方形的面積公式，得：S1=（ ）2=5，

S2=（ ）2×（1+ ）2，

S3=（ ）2×（1+ ）4=5×（ ）4，

由此，可得S2017=（ ）2×（1+ ）2×2016=5×（ ）4032．

故答案為：5×（ ）4032．

首先證明△AA1B∽△A1A2B1，從而可得到∠BAA1=∠B1A1A2，然后利用勾股定理計算出正方形的邊長，最后利用正方形的面積公式計算第一個正方形的面積，從中找出規(guī)律，然后依據(jù)規(guī)律可求出第n個正方形的面積.