Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，BC∥AD （AD＞BC），BC⊥AB，AB=8，BC=6．動點E、F分別在邊BC和AD上，且AF=2EC．線段EF與AC相交于點G，過點G作GH∥AD，交CD于點H，射線EH交AD的延長線于點M，交AC于點O，設(shè)EC=x．
（1）求證：AF=DM；
（2）當(dāng)EM⊥AC時，用含x的代數(shù)式表達(dá)AD的長；
（3）在（2）題條件下，若以MO為半徑的⊙M與以FD為半徑的⊙F相切，求x的值．

Answer 1

（1）證明：∵BC∥AD，
∴，，
∵GH∥AD，，
∴，
∴AF=DM．

（2）解：∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵BC⊥AB，EM⊥AC，
∴，
∵EC=x，
∴，
∴，
∵AF=2EC，由（1）知AF=DM，
∴DM=2EC，
∴DM=2x，
∵EC∥AM，
∴，
∴，
∴．

（3）解：∵EM⊥AC，設(shè)AD=a，
∴FD=a-2x，，
FM=FD+DM=FD+AF=AD=a，
當(dāng)⊙F與⊙M相外切時，F(xiàn)D+MO=FM；
，
解得，
∵AD＞BC，即a＞6，
由，得，與已知不符，
∴（舍）；
當(dāng)⊙F與⊙M相內(nèi)切時，|FD-MO|=FM，
①，無解；
②，
解，得，，
∵2x＜a，a＞6，
∴．
綜上所述，滿足條件的x的值為．
分析：（1）利用平行線分線段成比例的知識即可得出；
（2）易得，故分別用含AD和x的代數(shù)式表示出EC、CO、AM和AO，代入即可得出含x的代數(shù)式表達(dá)的AD；
（3）結(jié)合題意可知，需要分兩種情況來解，一種是外切，另一種是內(nèi)切；分別根據(jù)切線的性質(zhì)，結(jié)合題目，列出方程即可得出x的值．
點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)以及平行線成比例的知識和解直角三角形等知識，并且要結(jié)合實際情況對題目分情況討論和對解的值進行合理的取舍，本題具有一定的難度，請同學(xué)們多加分析和理解．