Question

已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AB邊的垂直平分線EF交BD于點(diǎn)E，連AE
（1）比較∠AED與∠ABC的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論
（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由AB邊的垂直平分線EF交BD于點(diǎn)E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得EA=EB，即可證得∠EAB=∠EBA，則可得∠AED=2∠EBA，又由BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則可得∠ABC=2∠EBA，則可證得∠AED=∠ABC；
（2）設(shè)∠DBC=x°，由△ADE是等腰三角形，可求得∠EAD=∠AED=∠ABC=2x°，∠BAE=∠ABE=∠CBD=x°，則可得方程2x+3x=90，繼而求得答案．

解答：解：（1）∠AED=∠ABC．
證明：∵EF垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBA，
∴∠DEA=∠ABC；

（2）∵△ADE是等腰三角形，
∴∠EAD=∠DEA，
∵∠DEA=∠ABC，
設(shè)∠DBC=x°，
∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°，
∴∠ABC=2x°；
∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴2x+3x=90，
解得：x=18，
∴∠CAB=3x°=54°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．