Question

【題目】如圖，點(diǎn)A,B在直線1上,AB = 20cm,∠BAC= 120°.

(1)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿射線AB以每秒2cm的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā),沿射線BA以每秒lcm的速度向左運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)P出發(fā)多少秒時(shí)與點(diǎn)Q重合?

(2)在(1)的條件下，求點(diǎn)P出發(fā)多少秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm?

(3)點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn),AM = 4cm,現(xiàn)將射線AC繞點(diǎn)A以每秒30°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)，在這一運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)N為BM的中點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度:若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P出發(fā)秒時(shí)與點(diǎn)Q重合；（2）點(diǎn)P出發(fā)5秒或秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm；（3）存在，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s或1.2cm/s.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒時(shí)與點(diǎn)Q重合，根據(jù)題意列出方程并解方程即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)t秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm，根據(jù)點(diǎn)P、Q是否相遇分類討論，分別根據(jù)圖形列出方程，求出t即可；

（3）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)A的相對(duì)位置分類討論：①當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，此時(shí)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M1，N為BM1的中點(diǎn)，先求出此時(shí)N行駛的路程BN，再求出N行駛的時(shí)間，即可求出N的速度；②當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，此時(shí)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M2，N為BM2的中點(diǎn)，原理同上.

解：（1）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒時(shí)與點(diǎn)Q重合，

根據(jù)題意可知：AP=2x，BQ=x，

∴2x＋x=20

解得：x=

答：點(diǎn)P出發(fā)秒時(shí)與點(diǎn)Q重合.

（2）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)t秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm

①若P、Q未相遇時(shí)，如下圖所示

∴AP=2t，PQ=5，BQ= t，

∴2t＋5＋t =20

解得：t =5；

②若P、Q已相遇，如下圖所示

∴AP=2t，PQ=5，BQ= t，

∴2t－5＋t =20

解得：t =

綜上所述：t=5或.

答：點(diǎn)P出發(fā)5秒或秒時(shí)與點(diǎn)Q相距5cm.

（3）存在，

①當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，此時(shí)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M1，N為BM1的中點(diǎn)

∴AM1=AM=4cm，

∴BM1=AB－AM1=16cm

∵N為BM1的中點(diǎn)

∴N行駛的路程BN= BM1=8cm

∵∠BAC= 120°，射線AC繞點(diǎn)A以每秒30°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)，

∴N行駛的時(shí)間=射線AC旋轉(zhuǎn)的時(shí)間=120÷30=4s

∴N的速度為：8÷4=2cm/s

②當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，此時(shí)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M2，N為BM2的中點(diǎn)

∴AM2=AM=4cm，

∴BM2=AB+AM2=24cm

∵N為BM2的中點(diǎn)

∴N行駛的路程BN= BM2=12cm

∵∠BAC= 120°，射線AC繞點(diǎn)A以每秒30°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)，

∴射線AC旋轉(zhuǎn)的角度為：120°＋180°=300°，N行駛的時(shí)間=射線AC旋轉(zhuǎn)的時(shí)間=300÷30=10s

∴N的速度為：12÷10=1.2cm/s

綜上所述：點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s或1.2cm/s.