Question

等腰△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于H，D是底邊上任意一點(diǎn)，過D作BC的垂線交AC于M，交BA的延長(zhǎng)線于N，求證：DM+DN=2AH．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥DN，交MN于F．構(gòu)建矩形AHDF，則AH=DM+MF=FN+DM．所以只需根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、等角的余角相等以及對(duì)頂角相等來推知點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)即可．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥DN，交MN于F．
∵AH⊥BC，DN⊥BC，
∴四邊形AHDF是長(zhǎng)方形，
∴AH=DM+MF=FN+DM．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠N=∠CMD（等角的余角相等）．
∵∠CMD=∠AMN，
∴∠N=∠AMN，
∴AN=AM，
∵AF⊥MN．
∴F是MN的中點(diǎn)，
∴FN=FM，
∴2AH=DM+MF+FN+DM=DM+DN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)以及垂直的定義，熟記等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊是解題的關(guān)鍵．