Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+．（2）3，（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）拋物線的解析式可以變天為y=(x+1)(x-3),從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后再求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，求得k和b的值，從而得到AE的解析式；

（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx-,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得ｍ的值，從而得到直線CE的解析式，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣），則點(diǎn)F（x，x-），則FP＝﹣x２＋．由三角形的面積公式得：ΔEPC的面積=-x2+x，利用二次函數(shù)的媒體人富士康得x的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP于N、M，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到點(diǎn)G和H的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在一條直線上時(shí)，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH。

（3）由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后分為QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三種情況求解即可.

試題解析：（1）∵y=x2﹣x﹣，

∴y=（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當(dāng)x=4時(shí)，y=．

∴E（4，）．

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：

，

解得：k=，b=．

∴直線AE的解析式為y=x+．

（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：4m﹣=，解得：m=．

∴直線CE的解析式為y=x﹣．

過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣），則點(diǎn)F（x，x﹣），

則FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．

∴△EPC的面積=×（x2+x）×4=﹣x2+x．

∴當(dāng)x=2時(shí)，△EPC的面積最大．

∴P（2，﹣）．

如圖2所示：作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．

∵K是CB的中點(diǎn)，

∴k（，﹣）．

∵點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對(duì)稱，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，﹣）．

∵點(diǎn)G與點(diǎn)K關(guān)于CD對(duì)稱，

∴點(diǎn)G（0，0）．

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí)，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．

∴GH==3．

∴KM+MN+NK的最小值為3．

（3）如圖3所示：

∵y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，

∴點(diǎn)F（3，﹣）．

∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，

∴G（2，）．

∴FG=．

∴當(dāng)FG=FQ時(shí)，點(diǎn)Q（3，），Q′（3，）．

當(dāng)GF=GQ時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y=對(duì)稱，

∴點(diǎn)Q″（3，2）．

當(dāng)QG=QF時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，a）．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：a+=，解得：a=﹣．

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，﹣）．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．