Question

如圖所示，在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，連接AF，在AF上取點(diǎn)G，使得AG=AD，連接DG，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AF，交DG于點(diǎn)E．
（1）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且tan∠FAB=

1

2

，求FG的長(zhǎng)；
（2）求證：AE+BF=AF．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，在Rt△ABF中，由tan∠FAB=

1

2

，即可求得BF的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AF的長(zhǎng)，又由AG=AD，即可求得FG的長(zhǎng)；
（2）首先在BC上去截取BM=AE，然后證得△AGE≌△BAM，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、同角的余角相等，即可求得∠FAM=∠AMB，繼而證得AE+BF=AF．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為4，
∴∠ABF=90°，AB=AD=4，
∵在Rt△ABF中，tan∠FAB=

1

2

，
即

FB

AB

=

1

2

，
∴FB=

1

2

×4=2，
∴AF=

AB2+BF2

=2

5

，
∵AG=AD=4，
∴FG=AF-AG=2

5

-4；

（2）在BC上去截取BM=AE，
∵AG=AD，AB=AD，
∴AG=AB，
∵AE⊥AF，
∴∠EAG=∠ABM=90°，
在△AGE和△BAM中，
∵

AG=BA ∠GAE=∠ABM AE=BM

，
∴△AGE≌△BAM，
∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，
∵AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴∠BAM=∠ADG，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，
∴∠FAM=∠AMB，
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．