Question

如圖所示，在正方形ABCD中，AB=2，兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，以O(shè)B、OC為鄰邊作第1個(gè)正方形OBB₁C，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)A₁；再以A₁B₁、A₁C為鄰邊作第2個(gè)正方形A₁B₁C₁C對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O₁；再以O(shè)₁B₁、O₁C₁為鄰邊作第3個(gè)正方形O₁B₁B₂C₁，…依此類(lèi)推．
（1）求第1個(gè)正方形OBB₁C的邊長(zhǎng)a₁和面積S₁；
（2）寫(xiě)出第2個(gè)正方形A₁B₁C₁C和第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a₂，a₃和面積S₂，S₃；
（3）猜想第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a_n和面積S_n．（不需證明）．

Answer 1

分析：由圖示可知，每一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都等于上一個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的一半，據(jù)此可進(jìn)行解答．

解答：解：（1）正方形ABCD中，AB=2，
∴BD=2

2

∴a1=BO=

1

2

BD=

2

S1=BO2=(

2

)2
故第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

2

，面積為2．

（2）由圖示可知，a₂=1，a3=

2

2

，S₂=1，S2=

1

2

．
故第二個(gè)正方形和第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為1，

2

2

，面積為1，

1

2

．

（3）an=

1

( 2 )n-2

；Sn=

1

2n-2

（10分）

點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的

2

倍，及正方形的面積公式求解．