Question

若2ⁿ+256是完全平方數(shù)的正整數(shù)，求n．

Answer 1

考點：完全平方數(shù)

專題：分類討論

分析：由于n的取值范圍不能確定，故應(yīng)分n≤8和n＞8兩種情況進行討論，當n≤8時原式可化為2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù)，再分別把n≤8的所有偶數(shù)代入進行驗證；當n＞8時，原式可化為2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方數(shù)，則2^n-8+1為一奇數(shù)的平方，再根據(jù)奇數(shù)的定義即可求出n的值．

解答：解：當n≤8時，2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方數(shù)，則n是2的倍數(shù)．
若n=2，則2ⁿ+256=2²×65；
若n=4，則2ⁿ+256=24×17；
若n=6，則2ⁿ+256=26×5；
若n=8，則2ⁿ+256=28×2．
所以，當n≤8時，2ⁿ+256都不是完全平方數(shù)．
當n＞8時，2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方數(shù)，則2^n-8+1為一奇數(shù)的平方．
設(shè)2^n-8+1=（2k+1）²（k為自然數(shù)），則2^n-10=k（k+1）．
由于k和k+1一奇一偶，
且是2的n-10次方，符合要求的只有1×2，
所以k=1，于是2^n-10=2，
故n=11．

點評：本題考查的是完全平方數(shù)及奇數(shù)與偶數(shù)，解答此題時要注意分n≤8和n＞8兩種情況進行討論，此題難度較大．