【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線與拋物線交于兩點,其中,.該拋物線與軸交于點,與軸交于另一點.
(1)求的值及該拋物線的解析式;
(2)如圖2.若點為線段上的一動點(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時點的坐標.
(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點,使得以為頂點的三角形與△相似,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)當,即時,最大,此時,所以;(3)存在點坐標為或.
【解析】(1)把A與B坐標代入一次函數(shù)解析式求出m與n的值,確定出A與B坐標,代入二次函數(shù)解析式求出b與c的值即可;
(2)由等腰直角△APM和等腰直角△DPN,得到∠MPN為直角,由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積,利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時P的坐標即可;
(3)存在,分兩種情況,根據(jù)相似得比例,求出AQ的長,利用兩點間的距離公式求出Q坐標即可.
(1)把A(m,0),B(4,n)代入y=x﹣1得:m=1,n=3,∴A(1,0),B(4,3).
∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A與點B,∴,解得:,則二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+6x﹣5;
(2)如圖2,△APM與△DPN都為等腰直角三角形,∴∠APM=∠DPN=45°,∴∠MPN=90°,∴△MPN為直角三角形,令﹣x2+6x﹣5=0,得到x=1或x=5,∴D(5,0),即DP=5﹣1=4,設(shè)AP=m,則有DP=4﹣m,∴PM=m,PN=(4﹣m),∴S△MPN=PMPN=×m×(4﹣m)=﹣m2﹣m=﹣(m﹣2)2+1,∴當m=2,即AP=2時,S△MPN最大,此時OP=3,即P(3,0);
(3)存在,易得直線CD解析式為y=x﹣5,設(shè)Q(x,x﹣5),由題意得:∠BAD=∠ADC=45°,分兩種情況討論:
①當△ABD∽△DAQ時,=,即=,解得:AQ=,由兩點間的距離公式得:(x﹣1)2+(x﹣5)2=,解得:x=,此時Q(,﹣);
②當△ABD∽△DQA時,=1,即AQ=,∴(x﹣1)2+(x﹣5)2=10,解得:x=2,此時Q(2,﹣3).
綜上,點Q的坐標為(2,﹣3)或(,﹣).
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【題目】如圖,在⊙O中,點C是直徑AB延長線上一點,過點C作⊙O的切線,切點為D,連結(jié)BD.
(1)求證:∠A=∠BDC;
(2)若CM平分∠ACD,且分別交AD、BD于點M、N,當DM=1時,求MN的長.
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【題目】如圖10,在三角形ABC中,∠ACB>90°.
(1)按下列要求畫出相應(yīng)的圖形.
①延長BC至點D,使BD=2BC,連接AD;
②過點A畫直線BC的垂線,垂足為點E;
③過點C畫CG∥AB,CG與AE交于點F,與AD交于點G;
(2)在(1)所畫出的圖形中,按要求完成下列問題.
①點A、D之間的距離是線段_____的長;點A到線段BC所在的直線的距離是線段___的長,約等于____mm(精確到1mm);
②試說明∠ACD=∠B+∠BAC.
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【題目】某校為了解學(xué)生的安全意識情況,在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,把學(xué)生的安全意識分成“淡薄”“一般”“較強”“很強”四個層次,并繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)若“較強”和“很強”均視為安全意識合格,請根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,估算該校2000名學(xué)生中安全意識合格的人數(shù).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,平行四邊形ABCD的坐標分別為A(﹣1,0)、B(0,2)、C(4,2)、D(3,0),點P是AD邊上的一個動點,若點A關(guān)于BP的對稱點為A',則A'C的最小值為( 。
A.B.C.D.1
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【題目】若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.
(1)如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求證:BD是梯形ABCD的和諧線;
(2)如圖2,在12×16的網(wǎng)格圖上(每個小正方形的邊長為1)有一個扇形BAC,點A.B.C均在格點上,請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D,使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線,并畫出相應(yīng)的和諧四邊形;
(3)四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線,求∠BCD的度數(shù).
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【題目】如圖所示,AB是⊙O的一條弦,OD⊥AB,垂足為C,交⊙O于點D,點E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度數(shù);
(2)若OC=3,OA=5,求AB的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(2,0)、B(﹣4,0),與y軸交于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接BD,點P在拋物線的對稱軸上,以Q為平面內(nèi)一點,四邊形PBQD能否成為矩形?若能,請求出點P的坐標;若不能,請說明理由;
(3)在拋物線上有一點M,過點M、A的直線MA交y軸于點C,連接BC,若∠MBO=∠BCO,請直接寫出點M的坐標.
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【題目】某公司計劃從本地向甲、乙兩地運送海產(chǎn)品共30噸進行銷售.本地與甲、乙兩地都有鐵路和公路相連(如圖所示),鐵路的單位運價為2元/(噸千米),公路的單位運價為3元/(噸千米).
(1)公司計劃從本地向甲地運輸海產(chǎn)品噸,求總費用(元)與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)公司要求運到甲地的海產(chǎn)品的重量不少于得到乙地的海產(chǎn)品重量的2倍,當為多少時,總運費最低?最低總運費是多少元?(參考公式:貨運運費單位運價運輸里程貨物重量)
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