Question

【題目】如圖，點(diǎn)E為□ABCD中一點(diǎn)，EA=ED，∠AED=90，點(diǎn)F，G分別為AB，BC上的點(diǎn)，連接DF,AG，AD=AG=DF，且AG⊥DF于點(diǎn)H，連接EG，DG，延長(zhǎng)AB,DG相交于點(diǎn)P．

（1）若AH=6，FH=2，求AE的長(zhǎng)；

（2）求證：∠P=45；

（3）若DG=2PG，求證：∠AGE=∠EDG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見詳解；（3）見詳解

【解析】

（1）在Rt△ADH中，設(shè)AD=DF=x，則DH=x-2，由勾股定理，求出AD的長(zhǎng)度，由等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求出AE的長(zhǎng)度；

（2）根據(jù)題意，設(shè)∠ADF=2a，則求出∠FAH=，然后∠ADG=∠AGD=，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，即可得到答案；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DP于點(diǎn)M，連接EM，EF，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，得到角之間的關(guān)系，從而通過(guò)等量互換，即可得到結(jié)論成立．

解：（1）∵AG⊥DF于點(diǎn)H，

∴∠AHD=90°，

∵AH=6，FH=2，

在Rt△ADH中，設(shè)AD=DF=x，則DH=DFFH=x-2，

由勾股定理，得：，

∴，

∴，

即AD=DF=AG=10，

∵EA=ED，∠AED=90，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE=；

（2）如圖：

∵∠AED=90，AG⊥DF，

∴∠EAH=∠EDH，

設(shè)∠ADF=2a，

∵DA=DF，

則∠AFH=∠DAF=，

∴∠FAH=，

∴∠DAH=，

∵AD=AG，

∴∠ADG=∠AGD=，

∴；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DP于點(diǎn)M，連接EM，EF，如圖：

∵AD=AG，DG=2PG，

∴PG=GM=DM，

∵∠P=45°，

∴△APM是等腰直角三角形，

∴AM=PM=DG，

∵∠ANO=∠DNM，∠AED=∠AMD=90°，

∴∠OAM=∠ODG，

∵AE=DE，AM=DG，

∴△AEM≌△DEG，

∴EM=EG，∠AEM=∠DEG，

∴∠AED+∠DEM=∠DEM+∠MEG，

∴∠MEG=∠AED=90°，

∴△MEG是等腰直角三角形；

∴∠EMG=45°，

∵AM⊥DP，

∴∠AME=∠EMG=45°，

∴ME是∠AMP的角平分線，

∵AM=PM，

∴ME⊥AP，

∵∠AOH=∠DOE，

∴∠OAH=∠ODE，

∴△AEG≌△DEF（SAS），

∴∠AEG=∠DEF，

∴∠AED+∠AEF=∠AEF+∠FEG，

∴∠FEG=∠AED=90°，

∴∠FEG+∠MEG=180°，

即點(diǎn)F、E、M，三點(diǎn)共線，

∴MF⊥AP，

∵AM平分∠DAG，

∴∠GAM=∠DAM，

∵∠EAN+∠DAM=45°，

∴∠EAN+∠GAM=45°，

∵∠PAG+∠GAM=45°，

∴∠EAN=∠PAG，

∵∠PAG+∠AFH=∠DFE+∠AFH=90°，

∴∠EAN=∠PAG=∠DFE，

∵△AEG≌△DEF，

∴∠AGE=∠DFE=∠EAN，

∵∠EAN=∠EDM，

∴∠AGE=∠EDM，

∴∠AGE=∠EDG．