Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于M、N兩點(diǎn)．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)A，連接OM、ON，求三角形OMN的面積；
（4）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)P，使以P，A，O，N為頂點(diǎn)的四邊形為
平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵N點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-4），
∴xy=k=-1×（-4）=4，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=，
∵M(jìn)點(diǎn)也在反比例函數(shù)圖象上，
∴2m=4，
∴m=2，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2），
∵一次函數(shù)y=ax+b，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)解析式為：y=2x-2；

（2）根據(jù)圖象可得出：當(dāng)0＜x＜2或x＜-1時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)；

（3）∵一次函數(shù)解析式為：y=2x-2，
∴y=0時，x=1，
∴AO=1，
三角形OMN的面積為：S_△OAM+S_△OAN=×1×2+×1×4=3；

（4）∵AO=1，當(dāng)AN為對角線，四邊形ONP₁A為平行四邊形，NP₁=1，且AO∥NP₁，
∴P₁（0，-4），
當(dāng)AN為邊，四邊形OP₂NA為平行四邊形，NP₂=1，且AO∥NP₂，
∴P₂（-2，-4），
當(dāng)AN為邊，四邊形OP₃AN為平行四邊形，AP₃=AN=，P₃到x軸距離為4，到y(tǒng)軸距離為2，且AP₃∥ON，
∴P₃（2，4），
綜上所述：存在，使以P，A，O，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-4），（-2，-4），（2，4）．
分析：（1）直接利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）利用函數(shù)圖象以及M，N點(diǎn)坐標(biāo)得出即可；
（3）利用分割法分割三角形，由M，N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形面積公式得出即可；
（4）利用平行四邊形的性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了利用圖象判斷函數(shù)值的大小以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．