Question

【題目】如圖，對(duì)稱(chēng)軸是的拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

若點(diǎn)是直線下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值；

若點(diǎn)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作鈾于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）△PBC面積的最大值為2；（3）P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；（4）存在，點(diǎn)M（﹣1，﹣），△AMC周長(zhǎng)的最小值為．

【解析】

（1）先由拋物線的對(duì)稱(chēng)性確定點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則可用含t的代數(shù)式表示出PE的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差可得關(guān)于t的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；

（3）先設(shè)D（m，0），然后用m的代數(shù)式表示出E點(diǎn)和P點(diǎn)坐標(biāo)，由條件可得關(guān)于m的方程，解出m的值即可得解；

（4）要使周長(zhǎng)最小，由于AC是定值，所以只要使MA+MC的值最小即可，由于點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)M就是BC與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，由于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)已知，則其縱坐標(biāo)易得，再根據(jù)勾股定理求出AC+BC，即為周長(zhǎng)的最小值．

解：（1）∵對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1的拋物線與x軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，∴B（﹣4，0）．

設(shè)拋物線解析式是：y=a（x+4）（x﹣2），把C（0，﹣2）代入，得：a（0+4）（0﹣2）=﹣2，解得a=，

所以該拋物線解析式是：y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣2；

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x﹣2，

作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設(shè)P（t，t2+t﹣2），則Q（t，﹣t﹣2），

∴PQ=﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）=﹣t2﹣t，∴S△PBC=S△PBQ+S△PCQ=PQ4=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2，

∴當(dāng)t=﹣2時(shí)，△PBC面積有最大值，最大值為2；

（3）設(shè)D（m，0），∵DP∥y軸，∴E（m，﹣m﹣2），P（m，m2+m﹣2），

∵PE=OD，∴，

∴m2+3m=0或m2+5m=0，解得：m=﹣3，m=0（舍去）或m=﹣5，m=0（舍去），

∴P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；

（4）∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)點(diǎn)M為直線BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)，MA+MC的值最小，如圖2，此時(shí)△AMC的周長(zhǎng)最�。�

∵直線BC的解析式為y=﹣x﹣2x=﹣1，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣．

∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M（﹣1，﹣）符合題意，此時(shí)△AMC周長(zhǎng)的最小值為AC+BC=．