Question

【題目】首先，我們學習一道“最值”問題的解答：

問題：已知x＞0，求的最小值．

解答：對于x＞0，我們有：

當，即時，上述不等式取等號，所以的最小值是

由解答知，的最小值是.

弄清上述問題及解答方法之后，解答下述問題：

（1）求的最小值．

（2）在直角坐標系 xOy 中，一次函數的圖象與 x 軸、 y 軸分別交于 A 、 B 兩點.

①求 A 、 B 兩點的坐標；

②求當OAB 的面積值等于時，用b 表示 k ；

③在②的條件下，求AOB 面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①（-，0）（0，b）；②k=；③7+2

【解析】

（1）把原式化成平方的形式求解，即化成=求解即可.

（2）①一次函數的圖象與 x 軸、 y 軸分別交于 A 、 B 兩點，分別令y=0 ，x=0，求出即可；

②用k和b表示出三角形的直角邊的長，從而表示出面積，和△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3列成方程，用b表示k；
③設x=b-2，則b=x+2，根據題干中第二問所給的解答過程得到提示，配方后求得x成立時的最小值．

解：（1）=

∴

∴

（2）①一次函數的圖象與 x 軸、 y 軸分別交于 A 、 B 兩點

∴分別令y=0 與x=0

∴當x=0時，y=b；當y=0時，x=-

∴A 、 B 兩點的坐標分別為（-，0）（0，b）

②當x=0時，y=b；當y=0時，x=-．
所以|OA|=，|OB|=b．
∴S△OAB=|OA||OB|=．
∴=+b+3，
∴=b+3，k=．
③S△OAB==．
設x=b-2，則b=x+2．
S△OAB=
==x++7
=()2+7+2≥7+2．
上述不等式等號在x=時成立．
故△OAB面積最小值是7+2．