Question

已知二次函數(shù)．

1. 求證：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；

2. 當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；

3.將直線y=x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：令y=0,則．

∵△=,             

又∵，  ∴．即△>0．

∴無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，一元二次方程總有兩不等實(shí)根．

∴該二次函數(shù)圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)．    

2.解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6）,

 ∴ .解得 .  

 ∴二次函數(shù)的解析式為

3.解：將向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到解析式為：

  解方程組   得      

  ∴直線與拋物線的交點(diǎn)為 

∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是,點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是.

      設(shè)過(guò)點(diǎn)、的直線解析式為．

     ∴     解得

∴直線的解析式為.

∴直線與x軸的交點(diǎn)為.                       

與直線的交點(diǎn)為.                          

則點(diǎn)、 為所求．

過(guò)點(diǎn)做，∴，.

在Rt△中，.

∴所求最短總路徑的長(zhǎng)為.

【解析】略