【題目】(2016廣東省茂名市第25題)如圖,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.

(1)求經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn),當(dāng)PE=PC時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F,G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)、y=x2+2x+3;(2)、(2,2);(3)、(,0),(,0),(,0),(,0).

【解析】

試題分析:(1)、利用待定系數(shù)法求出過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)、連接PC、PE,利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2,根據(jù)題意列出方程,解方程求出x的值,計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)、設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),表示出點(diǎn)G的坐標(biāo),根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程,解方程即可.

試題解析:(1)、拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),

, 解得,, 經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x+3;

(2)、如圖1,連接PC、PE, x===1, 當(dāng)x=1時(shí),y=4,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4), 設(shè)直線BD的解析式為:y=mx+n,則, 解得,,

直線BD的解析式為y=2x+6, 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,2x+6),

則PC2=x2+(3+2x6)2,PE2=(x1)2+(2x+6)2, PC=PE,

x2+(3+2x6)2=(x1)2+(2x+6)2 解得,x=2, 則y=2×2+6=2, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2);

(3)、設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a,a2+2a+3),

以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形, FM=MG,即|2a|=|a2+2a+3|,

當(dāng)2a=a2+2a+3時(shí), 整理得,a23a1=0, 解得,a=,

當(dāng)2a=a2+2a+3)時(shí), 整理得,a2a5=0, 解得,a=

當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0),(,0),(,0),(,0).

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①S△ODB=S△OCA;

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