Question

2．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD=CD，BE平分∠ABC，F(xiàn)D⊥ED交AB于F，BE交AD于H，則下列結(jié)論：①AH=AE；②S_{四邊形AFDE}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；③BF²+CE²=EF²，其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①②
• D． ①③

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可以證明∠AHE=∠AEH，故①正確；由△BDF≌△ADE得到S_△BDF=S_△ADE，所以S_{四邊形AFDE}=S_△ABD=${\frac{1}{2}}_{\;}$S_△ABC故②正確；只要證明BF=AE、CE=AF，即可證明③正確．

解答 解∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=∠ABD=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵∠AHE=∠ABE+∠BAD，∠AEB=∠C+∠EBC
∵∠ABE=∠EBC，
∴∠AHE=∠AEH，
∴AH=AE，故①正確；
∵∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDF=∠ADE，
在△BDF或△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠DAE}\\{BD=DA}\\{∠BDF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADE，
∴S_△BDF=S_△ADE，BF=AE，
∴S_{四邊形AFDE}=S_△ABD=${\frac{1}{2}}_{\;}$S_△ABC，故②正確；
同理可證：△ADF≌△CDE，
∴EC=AF，
在RT△AEF中，∵AF²+AE²=EF²，
∴EC²+CF²=EF²故③正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形外角的性質(zhì)．全等三角形的判定和性質(zhì)、四邊形的面積問題等知識(shí)，尋找全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．