【題目】如圖,ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,點D上,點E在弦AB上(E不與A重合),且四邊形BDCE為菱形.

(1)求證:AC=CE;

(2)求證:BC2﹣AC2=ABAC;

(3)已知⊙O的半徑為3.

①若=,求BC的長;

②當(dāng)為何值時,ABAC的值最大?

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)BC=4;

【解析】(1)由菱形知∠D=BEC,由∠A+D=BEC+AEC=180°可得∠A=AEC,據(jù)此得證;

(2)以點C為圓心,CE長為半徑作⊙C,與BC交于點F,于BC延長線交于點G,則CF=CG=AC=CE=CD,證BEF∽△BGA,即BFBG=BEAB,將BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得;

(3)①設(shè)AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=ABACBC=2k,連接EDBC于點M,RtDMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k,可知OM=OD-DM=3-k,在RtCOM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②設(shè)OM=d,則MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,繼而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得ABAC=BC2-AC2,據(jù)此得出關(guān)于d的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

1)∵四邊形EBDC為菱形,

∴∠D=BEC,

∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形,

∴∠A+D=180°,

又∠BEC+AEC=180°,

∴∠A=AEC,

AC=CE;

(2)以點C為圓心,CE長為半徑作⊙C,與BC交于點F,于BC延長線交于點G,則CF=CG,

由(1)知AC=CE=CD,

CF=CG=AC,

∵四邊形AEFG是⊙C的內(nèi)接四邊形,

∴∠G+AEF=180°,

又∵∠AEF+BEF=180°,

∴∠G=BEF,

∵∠EBF=GBA,

∴△BEF∽△BGA,

,即BFBG=BEAB,

BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,

(BC﹣AC)(BC+AC)=ABAC,即BC2﹣AC2=ABAC;

(3)設(shè)AB=5k、AC=3k,

BC2﹣AC2=ABAC,

BC=2k,

連接EDBC于點M,

∵四邊形BDCE是菱形,

DE垂直平分BC,

則點E、O、M、D共線,

RtDMC中,DC=AC=3k,MC=BC=k,

DM=,

OM=OD﹣DM=3﹣k,

RtCOM中,由OM2+MC2=OC2得(3﹣k)2+(k)2=32

解得:k=k=0(舍),

BC=2k=4;

②設(shè)OM=d,則MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,

BC2=(2MC)2=36﹣4d2

AC2=DC2=DM2+CM2=(3﹣d)2+9﹣d2,

由(2)得ABAC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4(d﹣2+,

∴當(dāng)d=,即OM=時,ABAC最大,最大值為,

DC2=

AC=DC=,

AB=,此時

練習(xí)冊系列答案
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組別

睡眠時間

二、學(xué)生睡眠情況統(tǒng)計圖

根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:

1)試求八年級學(xué)生睡眠情況統(tǒng)計圖中的a的值及a對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù);

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