Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們相交于點H，且HE=CE．
求證：AH=2BD．

Answer 1

證明：∵AB=AC，AD是高，
∴BC=2BD．
∵AD、BE是高，
∴∠ADC=90°，∠AEH=∠BEC=90°．
∴∠HAE+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°．
∴∠HAE=∠CBE．
在△AHE和△BCE中，
∠HAE=∠CBE，∠AEH=∠BEC，HE=CE，
∴△AHE≌△BCE（AAS）．
∴AH=BC．
又∵BC=2BD，
∴AH=2BD．
分析：我們發(fā)現(xiàn)，BC=2BD因此只要證明AH=BC就可以了，那么關(guān)鍵就是證明三角形AHE和BCE全等來得出結(jié)論．已知的條件有：EC=EH，一組直角，只要再證得一組對應角相等即可得出結(jié)論，我們不難發(fā)現(xiàn)∠EAH和∠EBC都是∠C的余角，因此這兩個角就相等，那么就湊齊了兩三角形全等的所有條件，兩三角形就全等了．由此可得出AH=BC=2BD．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，通過三角形的全等來得出簡單的線段相等是解題的關(guān)鍵．