Question

【題目】如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，以點A為圓心，AC的長為半徑作⊙A，交AB于點D，交CA的延長線于點E．過點E作EF∥AB，交⊙A于點F，連接AF，BF，DF．

（1）求證：BF是⊙A的切線；

（2）填空：

①當四邊形ADFE是周長為20的菱形時，BF＝　 　；

②當＝　 　時，四邊形ACBF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①5；②

【解析】

（1）證明△ABC≌△ABF（SAS），則∠AFB＝∠ACB＝90°，即可求解；

（2）①當四邊形ADFE是周長為20的菱形時，證明△ADE為等邊三角形，則BF＝AFtan∠FAB＝5；

②當四邊形ACBF是正方形，則AE＝AC＝BC，在等腰直角△ABC中，則AB＝AC＝AE，即可求解．

解：（1）∵EF∥AB，

∴∠CAB＝∠CEF，∠FAB＝∠AFE，

∵BE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴∠CAB＝∠FAB，

而AC＝AF，AB＝AB，

∴△ABC≌△ABF（SAS），

∴∠AFB＝∠ACB＝90°，

∴BF是⊙A的切線；

（2）①當四邊形ADFE是周長為20的菱形時，

則AE∥FD，且菱形邊長為5，

∴∠EFA＝∠DFA＝∠FAB＝∠ADF，

∴△ADE為等邊三角形，

∴∠FAB＝60°，

在Rt△FAB中，BF＝AFtan∠FAB＝5，

故答案為：5；

②∵四邊形ACBF是正方形，

∴AC＝BC，則AE＝AC，

∴AE＝AC＝BC，

在等腰直角△ABC中，

則AB＝AC＝AE，

故，

故答案為：．