Question

【題目】如圖，任意畫一個∠BAC＝60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點P，連接AP，有以下結論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正確的結論為_____．（填寫序號）

Answer 1

【答案】①②④⑤．

【解析】

由三角形內角和定理和角平分線得出∠PBC+∠PCB的度數，再由三角形內角和定理可求出∠BPC的度數，①正確；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分線的性質可知AP是∠BAC的平分線，②正確；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四邊形內角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正確；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正確；即可得出結論．

解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC＝60°，

∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，

∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正確；

∵∠BPC＝120°，

∴∠DPE＝120°，

過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，

∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，

∴AP是∠BAC的平分線，②正確；

∴PF＝PG＝PH，

∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，

∴∠FPG＝120°，

∴∠DPF＝∠EPG，

在△PFD與△PGE中，，

∴△PFD≌△PGE（ASA），

∴PD＝PE，④正確；

在Rt△BHP與Rt△BFP中，，

∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），

同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，

∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，

兩式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，

∵DF＝EG，

∴BC＝BD+CE，⑤正確；

沒有條件得出AD＝AE，③不正確；

故答案為：①②④⑤．