Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P，連接PA、AC、CP，過點(diǎn)C作y軸的垂線l．已知頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-4），線段PC之長(zhǎng)為3

(1)求二次函數(shù)解析式。

(2)M為直線l上一點(diǎn)，且以M,C,O為頂點(diǎn)的三角形與以A,C,O為頂點(diǎn)的三角形相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

(3)直線l上是否存在點(diǎn)D，使△PBD的面積等于△PAC的面積的3倍？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；(3) 存在，

【解析】

（1）利用勾股定理求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后將拋物線解析式寫成頂點(diǎn)式，再化為一般式；（2）求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知△ACO和△MCO均為直角三角形

，然后分情況討論兩個(gè)兩個(gè)三角形相似列出比例式，從而求解（3）待定系數(shù)法求直線PC的解析式為y=3x+5，設(shè)直線交x軸于E，則E（，0），設(shè)直線PQ交x軸于F，當(dāng)BD=3AF時(shí)，△PBD的面積等于△PAC的面積的3倍，分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）過點(diǎn)P作PH⊥y軸

∵頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-4）

∴PH=3，OH=4

設(shè)OC=x

在Rt△PCH中，

∴

解得：（負(fù)值舍去）

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,5）

設(shè)函數(shù)解析式

將（0,5）代入，

解得：a=1

∴函數(shù)解析式為

（2）在中，當(dāng)y=0時(shí)

解得：

所以A（-1,0）；B(-5,0)

點(diǎn)M在直線l上

由題意可知△ACO和△MCO均為直角三角形

設(shè)M（x,5）

∴當(dāng)時(shí)，兩個(gè)三角形相似

∴

解得：

當(dāng)時(shí)，兩個(gè)三角形相似

∴

解得：

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或

（3）設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，

則有

解得

∴直線PC的解析式y=3x+5，

設(shè)直線交x軸于E，則E（，0），

設(shè)直線PD交x軸于F，當(dāng)BF=3AE時(shí)，△PBD的面積等于△PAC的面積的3倍，

∵A(-1,0)，B(-5,0)

∴AE=，

∴BF=2

∴F（-3，0）或F'（-7，0）

當(dāng)F（-3，0）時(shí)，直線PF垂直于x軸，

∴D（-3，5）

當(dāng)F'（-7，0）時(shí)，直線PF'的解析式為y=-x-7，

∴D'（-12，5）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D（-3，5），D'（-12，5）．