【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0<t≤15).過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,EF.
(1)求證:AE=DF;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值,如果不能,說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)當(dāng)t=10時(shí),AEFD是菱形;(3)當(dāng)t=時(shí)△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);
當(dāng)t=時(shí),△DEF是直角三角形(∠DEF=90°),理由見解析.
【解析】試題分析:(1)利用t表示出CD以及AE的長,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長,即可證明;
(2)易證四邊形AEFD是平行四邊形,當(dāng)AD=AE時(shí),四邊形AEFD是菱形,據(jù)此即可列方程求得t的值;
(3)分兩種情況討論即可求解.
【解答】(1)證明:∵直角△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°.
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在直角△CDF中,∠C=30°,
∴DF=CD=2t,
∴DF=AE;
解:(2)∵DF∥AB,DF=AE,
∴四邊形AEFD是平行四邊形,
當(dāng)AD=AE時(shí),四邊形AEFD是菱形,
即60﹣4t=2t,
解得:t=10,
即當(dāng)t=10時(shí),AEFD是菱形;
(3)當(dāng)t=時(shí)△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);
當(dāng)t=12時(shí),△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:
當(dāng)∠EDF=90°時(shí),DE∥BC.
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t,
∴DF=2t=AE,
∴AD=4t,
∴4t+4t=60,
∴t=時(shí),∠EDF=90°.
當(dāng)∠DEF=90°時(shí),DE⊥EF,
∵四邊形AEFD是平行四邊形,
∴AD∥EF,
∴DE⊥AD,
∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°,
∵∠A=60°,
∴∠DEA=30°,
∴AD=AE,
AD=AC﹣CD=60﹣4t,AE=DF=CD=2t,
∴60﹣4t=t,
解得t=12.
綜上所述,當(dāng)t=時(shí)△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);當(dāng)t=12時(shí),△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M、N,AH⊥MN于點(diǎn)H.
(1)如圖①,當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí),請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系: ;
(2)如圖②,當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí),(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?如果不成立請(qǐng)寫出理由,如果成立請(qǐng)證明;
(3)如圖③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于點(diǎn)H,且MH=2,NH=3,求AH的長.(可利用(2)得到的結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=-x+1的圖象與x軸交于A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C在第二象限內(nèi)且為直線AB上一點(diǎn),OC=AB,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則k的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有理數(shù)乘方的符號(hào)法則:
(1)正數(shù)的任何次冪都是________;
(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是________,負(fù)數(shù)的偶次冪是________;
(3)0的任何正整數(shù)次冪都是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)為( )
①同位角相等;②從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段,叫作這點(diǎn)到直線的距離;③平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行;④平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線.
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將長為2.5米長的梯子AB斜靠在墻上,此時(shí)BE的長為0.7米.
(1)求梯子上端到墻的底端E的距離(即AE的長);
(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4米(即AC=0.4米),則梯腳B將外移(即BD長)多少米
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