【題目】直線l1,l2,l3,l4是同一平面內(nèi)的一組平行線.
(1)如圖1,正方形ABCD的4個頂點都在這些平行線上,若四條直線中相鄰兩條之間的距離都是1,其中點A,點C分別在直線l1和l4上,求正方形的面積.
(2)如圖2,正方形ABCD的4個頂點分別在四條平行線上,若四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1,h2,h3.
①求證:h1=h3.
②設(shè)正方形ABCD的面積為S,求證:S=2h12+2h1h2+h22.
【答案】(1)正方形ABCD的面積為9或5;(2)①證明見解析;②證明見解析
【解析】
(1)分兩種情況:①如圖1,得出正方形ABCD的邊長為3,可求出正方形ABCD的面積;
②如圖1-2,過點B作EF⊥l1于E,交l4于F,則EF⊥l4,證明△ABE≌△BCF(AAS),得出AE=BF=2由勾股定理求出AB,即可得出答案;
(2)①過點B作EF⊥l1于E,交l4于F,作DM⊥l4于M,證明△ABE≌△BCF(AAS),得出AE=BF,同理△CDM≌△BCF(AAS),得出△ABE≌△CDM(AAS),得出BE=DM即可;
②由①得出AE=BF=h2+h3=h2+h1,得出正方形ABCD的面積S=AB2=AE2+BE2=(h2+h1)2+h12=2h12+2h1h2+h22.
(1)解:分兩種情況:
①如圖1所示:正方形ABCD的邊長為3,
∴正方形ABCD的面積為9;
②如圖1﹣2所示:過點B作EF⊥l1于E,交l4于F,則EF⊥l4,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°,
∵∠CBF+∠BCF=90°,
∴∠ABE=∠BCF,
在△ABE和△BCF中,,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF=2,
∴AB= ,
∴正方形ABCD的面積=AB2=5;
綜上所述,正方形ABCD的面積為9或5;
(2)①證明:過點B作EF⊥l1于E,交l4于F,作DM⊥l4于M,如圖2所示:
則EF⊥l4,∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°,
∵∠CBF+∠BCF=90°,
∴∠ABE=∠BCF,
在△ABE和△BCF中,,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF,
同理△CDM≌△BCF(AAS),
∴△ABE≌△CDM(AAS),
∴BE=DM,即h1=h3.
②解:由①得:AE=BF=h2+h3=h2+h1,
∵正方形ABCD的面積S=AB2=AE2+BE2=(h2+h1)2+h12=2h12+2h1h2+h22.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):
萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在△ABC 中,R 和 r 分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O 和 I 分別為其外心和內(nèi)心,則OI R2Rr .
下面是該定理的證明過程(借助了第(2)問的結(jié)論):
延長AI 交⊙O 于點 D,過點 I 作⊙O 的直徑 MN,連接 DM,AN.
∵∠D=∠N,∴∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等),
∴△MDI∽△ANI.∴,∴ IA ID IM IN ①
如圖②,在圖 1(隱去 MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O 的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF
∵DE 是⊙O 的直徑,∴∠DBE=90°.
∵⊙I 與 AB 相切于點 F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等),
∴△AIF∽△EDB.
∴,∴②,
由(2)知:,
∴
又∵,
∴ 2Rr(R d )(R d ) ,
∴ R d 2Rr
∴ d R 2Rr
任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn): IM R d , IN (用含R,d 的代數(shù)式表示);
(2)請判斷 BD 和 ID 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(請利用圖 1 證明)
(3)應(yīng)用:若△ABC 的外接圓的半徑為 6cm,內(nèi)切圓的半徑為 2cm,則△ABC 的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:拋物線y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(m0)交x軸于A、B兩點(其中A點在B點左側(cè)),交y軸于點C.
(1)若A點坐標(biāo)為(﹣1,0),則B點坐標(biāo)為 .
(2)如圖1,在 (1)的條件下,且am=1,設(shè)點M在y軸上且滿足∠OCA+∠AMO=∠ABC,試求點M坐標(biāo).
(3)如圖2,在y軸上有一點P(0,n)(點P在點C的下方),直線PA、PB分別交拋物線于點E、F,若,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果店11月份購進(jìn)甲、乙兩種水果共花費1700元,其中甲種水果8元/千克,乙種水果18元/千克.12月份,這兩種水果的進(jìn)價上調(diào)為:甲種水果10元/千克,乙種水果20元/千克.
(1)若該店12月份購進(jìn)這兩種水果的數(shù)量與11月份都相同,將多支付貨款300元,求該店11月份購進(jìn)甲、乙兩種水果分別是多少千克?
(2)若12月份將這兩種水果進(jìn)貨總量減少到120千克,設(shè)購進(jìn)甲種水果a千克,需要支付的貨款為w元,求w與a的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,若甲種水果不超過90千克,則12月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應(yīng)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),與y軸的交點B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1.下列結(jié)論:①abc>0;②4a+2b+c>0;③<a<;④b>c.其中含所有正確結(jié)論的選項是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y1=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象相交于A、B兩點,坐標(biāo)分別為(—2,4)、(4,—2).
(1)求兩個函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)直線AB上是否存在一點P(A除外),使△ABO與以B﹑P、O為頂點的三角形相似?若存在,直接寫出頂點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】棱長分別為的兩個正方體如圖放置,點,,在同一直線上,頂點在棱上,點是的中點.一只螞蟻要沿著正方體的表面從點爬到點,它爬行的最短距離是__________.
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