Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C’是點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，交線段AC于點(diǎn)E。

（1）連接DC，求△DCE的周長；

（2）如圖2，點(diǎn)P是線段AC上方拋物線上的一點(diǎn)，過P作PH⊥x 軸交x軸于點(diǎn)H，交線段AC于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形PCQC’的面積最大時(shí)，在線段PH上有一動(dòng)點(diǎn)M，在線段DG上有一動(dòng)點(diǎn)N，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)E，且滿足MN⊥PH，連接AM,MN,NE,DE，求AM+MN+NE+DE的最小值；

（3）如圖3，將拋物線沿直線AC進(jìn)行平移，平移過程中的點(diǎn)D記為D’，點(diǎn)C記為C’，連接D’C’所形成的直線與x軸相交于點(diǎn)G，請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)G，使得△D’OG為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)OG的長度，若不存在，請(qǐng)說明理由。

圖1 圖2

圖3

Answer 1

【答案】（1）2（2） （3）OG=或5或或

【解析】分析：(1)根據(jù)函數(shù)解析式，分別求出點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo)，用勾股定理求CD，CE的長；(2)四邊形PCQC′的面積等于PQ與CC′積的一半，CC′是的值不變，即PQ最大時(shí)，四邊形PCQC′的面積最大，得到P，H的坐標(biāo)，可求MN的長，分別將AM向MN方向平移MN個(gè)單位得到，過軸作的對(duì)稱點(diǎn)，則＋MN為所求；(3)根據(jù)D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑平行于AC，得直線DD′的解析式為，設(shè)D′，用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，用勾股定理求OG，OD′，GD′的長，分三種情況討論.

詳解：(1)可得，D()對(duì)稱軸＝－1，

∵直線AC的解析式為，∴，

∴CD＝ ＝；

CE＝ ＝；

DE＝.

∴.

(2)設(shè)，

， 的值不變.

當(dāng)PQ最大時(shí)，四邊形面積最大，PQ的值最大，且，

當(dāng)時(shí)，PQ最大，此時(shí)面積最大， .

， ，

將AM向MN方向平移個(gè)單位得到.

過軸作的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交DG于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)E，過N作MN∥于軸交PH于點(diǎn)M，

此時(shí)最小，最小值＝.

(3)D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑平行于AC， ，

∴，設(shè).

∵∠DCA＝60°，DC∥.

∴∠CG＝60°，∠AG＝120°.

∵∠CAO＝30°，∴∠＝30°.

∴直線D′E的解析式為y＝－，∴.

由勾股定理得：

，

，

.

①時(shí)， ，∴OG＝0(舍)；

②時(shí)， ，∴OG＝；

③時(shí)， ，∴OG＝.

綜上所述：OG＝或.