Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CB=a，CA=b，∠A-∠B=90°，則⊙O的半徑為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：作直徑AE，連接BE，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ACE=90°，∠AEC=∠ABC，易得∠ABC+∠CAE=90°，加上∠CAB-∠ABC=90°，則∠CAB+∠CAE=180°，所以∠DAC=∠CAE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得∠DAC=∠BEC，∠CAE=∠CBE，所以∠CBE=∠CEB，則CE=CB=a，然后在Rt△ACE中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AE，即可得到⊙O的半徑．

解答：解：作直徑AE，連接BE，如圖，∠DAC為△ABC的外角，
∵AE為直徑，
∴∠ACE=90°，
∴∠AEC+∠CAE=90°，
∵∠AEC=∠ABC，
∴∠ABC+∠CAE=90°，
∵∠CAB-∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠CAE=180°，
而∠CAB+∠CAD=180°，
∴∠DAC=∠CAE，
∵∠DAC=∠BEC，∠CAE=∠CBE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=CB=a，
在Rt△ACE中，∵AC=b，CE=a，
∴AE=

AE2+AC2

=

a2+b2

，
∴⊙O的半徑為

a2+b2

2

．
故答案為

a2+b2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了勾股定理．