Question

17．已知點A、B在半徑為1的⊙O上，直線AC與⊙O相切，OC⊥OB，連接AB交OC于點D．
（Ⅰ）如圖①，若∠OCA=60°，求OD的長；
（Ⅱ）如圖②，OC與⊙O交于點E，若BE∥OA，求OD的長．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)可知∠OAC=90°，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOC=30°，由∠AOB=∠AOC+∠BOC可得出∠AOB的度數(shù)，結(jié)合OA=OB可得出∠OAB=∠OBA=30°，由此可得出OD=AD，由∠OAB與∠DAC互余可知∠DAC=60°=∠DCA，由此得出△DAC為等邊三角形，從而得出OD=AC，由特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論；
（2）由OC⊥OB且OC=OB可知∠OBE=∠OEB=45°，再由BE∥OA可得出∠AOC=45°，結(jié)合切線性質(zhì)可得出OA=AC，根據(jù)角與角之間的關(guān)系逐步得出∠CAD=∠CDA=67.5°，由此可得出AC=CD，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC與⊙O相切，
∴∠OAC=90°．
∵∠OCA=60°，
∴∠AOC=30°．
∵OC⊥OB，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OD=AD，∠DAC=60°
∴AD=CD=AC．
∵OA=1，
∴OD=AC=OA•tan∠AOC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵OC⊥OB，
∴∠OBE=∠OEB=45°．
∵BE∥OA，
∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，
∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，
∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．
∵∠DAC=90°-∠OAB=67.5°=∠ADC，
∴AC=CD．
∵OC=$\frac{AC}{sin∠AOC}$=$\sqrt{2}$，
∴OD=OC-CD=$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、角的計算、等腰三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是：（1）通過邊角關(guān)系找出OD=AC；（2）通過邊角關(guān)系找出AC=CD．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)角的計算找出相等的角，再由相等的角得出相等的邊．